4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系

函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数.如果对任意，求的取值范围.(答案：.)题2 (2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数.证明：若，则对任意，有.题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：R且，有.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若，则B.若且，则C.若，则D.若且，则题4 (2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数的导函数是，是不相等的正数，求证：.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设R，函数在区间上可导，则(1)有；(2)有且区间，当时不能恒成立；(3)有；(4)有且区间，当时不能恒成立；(5)有；(6)有且区间，当时及均不能恒成立；(7)有；(8)有且区间，当时及均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在数学分析中均可找到(比如文献1,2)：引理1 若函数在区间上可导，则在上单调不减(不增)的充要条件是在时恒成立.(注：若有，则称在区间上单调不减(不增).)引理2 若函数在区间上可导，则在上严格递增(递减)在上且对于任意的区间，当时不能恒成立.(注：若有，则称在区间上严格递增(递减).)定理的证明 设.(1)左边有有在上单调不增右边.(2)左边有有在上严格递减(用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)右边.(3)同(1)可证.(4)同(2)可证.(5)左边有有右边.(6)左边有有右边. (7) 有有或有或或或(8)同(7)可证.题5 已知函数R的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求的取值范围.解 由定理9(2)，得在R时恒成立，即恒成立，所以.所以所求的取值范围是.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当时，的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献2或3)处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数R(1)若函数的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：；(2)若，且函数的图象上任意一点处的切线斜率为k，试证明的充要条件为.由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的).下面用定理给出题14的简解.题3的简解 即满足条件“R，有”的函数构成的集合.由定理(6)，得即满足条件“R且对于任意的区间，当时及均不能恒成立”的函数的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C成立(且可排除选项A、B、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当时且只能在一些孤立点上成立”：所以要证结论成立.(并且还可得：当时，结论也成立.)题1的简解 .由定理(7)知题设即在时恒成立，由及均值不等式可得所求的取值范围是.注 下面把题1中的题设“”改成“R”，再来求解：此时题意即“在时恒成立，求的取值范围”.当时，已得；当时，可得函数是单调减函数，可得此时不满足题设；当时，由均值不等式可得.所以所求的取值范围是.题4的简解 设，即证.由定理(8)知，只需证明：当时，即只需证 即 这由均值不等式及题设可证：所以欲证成立. 注 由以上简解知，把题4中的“”改成“”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛