专题六 二次函数综合题 类型一 点问题

专题六二次函数综合题考情分析：2017.25；2016年4考；2015年5考考查背景有：二次函数、二次函数与一次函数结合、二次函数与圆结合涉及的变换有动点问题、图形平移问题类型一点问题例1(2017河南)如图，直线yxc与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过点A，B.(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“和谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值例1题图备用图【思路点拨】(1)将A点坐标代入一次函数解析式可得点C，通过一次函数解析式可得点B坐标，将A，B两点坐标代入抛物线解析式即可；(2)BPN与APM恒相等，则需分两种情况讨论即可；(3)分点P，M，N分别为“共谐点”时分类讨论解：(1)直线yxc过A(3，0)，将点A代入得3c0，解得c2，直线AB的表达式为yx2，B(0，2)抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(0，2)，将A，B两点代入有，解得yx2x2；(2)依题可知：M(m，0)，NMx轴交直线yx2于点P，交抛物线yx2x2于点N，N(m，m2m2)，P(m，m2)APM相似于BPN，当APMBPN时，则AMPBNP90，BNx轴，B，N的纵坐标相同，都为2，m2m22，解得：m10，m2.当m0时，P，N与B重合，BPN不存在，故舍去M(，0)；当APMNPB时，则BNPMAP，如解图，过点B作BHMN于点H，则H(m，2)，例1题解图BNPMAP，tanBNPtanMAP，即，解得：m10(舍去)，m2，M(，0)，点M的坐标为(，0)或(，0)；(3)或或1.【解法提示】当点P为“共谐点”的中点时，则一次函数图象在抛物线与x轴之间，点N(m，m2m2)，P(m，m2)，由“共谐点”的定义得：m2，解得m1，m23(舍去，此时点P，M，N重合)；点M为“共谐点”的中点时，则x轴在一次函数图象与抛物线之间，由“共谐点”的定义得：0，解得m11，m23(舍去，此时点P，M，N重合)；当点N为“共谐点”的中点时，则抛物线在一次函数图象与x轴之间，由“共谐点”的定义得：m2m2，解得m1，m23(舍去，此时点P，M，N重点)故当m为或或1时，点M，P，N三点成为“共谐点”【针对练习】1(2017连云港)如图，已知二次函数yax2bx3(a0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC.第1题图(1)求此二次函数的关系式；(2)判断ABC的形状；若ABC的外接圆记为M，请直接写出圆心M的坐标；(3)若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，A1B1C1的外接圆记为M1，是否存在某个位置，使M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数的关系式为yx2x3；(2)ABC为直角三角形如解图，过点B作BDx轴于点D，由(1)知点C坐标为(0，3)，OAOC，OAC45，又B(4，1)，ADBD，BAD45，BAC180454590，ABC为直角三角形，圆心M的坐标为(2，2)；第1题解图(3)存在如解图，取BC中点M，过点M作MEy轴于点E，M的坐标为(2，2)，MC，OM2，MOA45，又BAD45，OMAB，要使抛物线沿射线BA方向平移，且使M1经过原点，则平移的长度为2或2.BAD45.抛物线的顶点向左、向下均平移个单位长度或个单位长度yx2x3(x)2.平移后抛物线的关系式为y(x)2，即y(x)2，或y(x)2，即y(x)2.综上所述，存在一个位置，使M经过原点，此时抛物线的关系式为：y(x)2或y(x)2.第2题图2(2017山西)如图，抛物线yx2x3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QDx轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t0)(1)求直线BC的函数表达式；(2)直接写出P，D两点的坐标；(用含t的代数式表示，结果需化简)在点P、Q运动的过程中，当PQPD时，求t的值；(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)直线BC的函数表达式为yx3；(2)P(3，t)，D(92t，t2t)；【解法提示】由(1)可知A(3，0)，C(0，3)，CAO60，如解图，过点P作PGx轴于点G，APt，AG，PGt，P(3，t)，又BQ2t，B(9，0)，OQ92t，点D的横坐标为92t，将x92t代入抛物线解析式得yt2t，D(92t，t2t)第2题解图如解图，过点P作PHQD于点H，QDx轴，四边形PGQH是矩形，HQPG，PQPD，PHQD，DQ2HQ2PG，P，D两点的坐标分别为(3，t)，(92t，t2t)，t2t2t，解得t10(舍去)，t2，当PQPD时，t的值