第2章简单随机抽样PPT课件

精选,1,第2章简单随机抽样,精选,2,2.1简单随机抽样的概念,简单随机抽样（SimpleRandomSampling，SRS）：从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，若所有可能的个样本中的每一个被抽到的概率都相等，即每个可能样本被抽中的概率均为，这种抽样方法称为不放回的简单随机抽样，简称简单随机抽样，所得的样本称为不放回的简单随机样本，简称简单随机样本,精选,3,简单随机抽样的实施方法：将总体中的单元依次从1到N进行编号，然后利用抽签法或随机数法来进行简单随机抽样抽签法：一般用于总体所含单元不多的情况，首先做N个签并依次写上1至N的号码，然后将签充分混合均匀，再一次抽取其中的n个签或逐个不放回地抽取n个签，则编号为这n个签上的号码的单元就构成一个简单随机样本,精选,4,随机数法：产生n个在1,2,N中离散均匀分布的随机整数（舍去重复的或大于N的数），编号为这n个随机整数的单元就构成一个简单随机样本（1）随机数骰子（2）随机数表简单随机抽样是其他抽样方法的基础，其理论最容易处理也最为成熟，在抽样理论中占有重要的地位；效率一般比较高，但当总体单元比较多时不容易实施，且有时精度不高,精选,5,引理2.1.1从容量为N的总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，则总体中每个特定单元的入样概率为n/N，总体中每两个特定单元的入样概率为注：简单随机抽样是一种不放回的等概率抽样方法,精选,6,引理2.1.2从容量为N的总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，对总体中每个单元引入一个随机变量：则：其中：称为抽样比,精选,7,2.2总体均值与总体总值的简单估计,从容量为N的总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，对某个指标Y，总体中N个单元的指标值用来表示，样本中n个单元的指标值用来表示，则：（注：这里的为定量，为随机变量）指标Y的总体均值为指标Y的样本均值为,精选,8,指标Y的总体总值为指标Y的样本总值为指标Y的总体方差为指标Y的样本方差为,精选,9,显然有：,精选,10,如果还有一个指标X，N个总体单元的指标值为，n个样本单元的指标值为指标X的总体均值和样本均值分别为指标X的总体总值和样本总值分别为,精选,11,指标X的总体方差和样本方差分别为：指标Y与X的总体协方差为指标Y与X的样本协方差为,精选,12,同样有：,精选,13,在简单随机抽样中，称为总体均值的简单估计量，称为总体总值的简单估计量定理2.2.1在简单随机抽样中，分别是的无偏估计量，即定理2.2.2在简单随机抽样中，估计量的方差分别为,精选,14,注1：的精度随着样本量的增加而提高，随着总体方差即总体变异程度的增加而降低注2：1-f称为有限总体校正系数（finitepopulationcorrection，简记为fpc），当抽样比f很小时，1-f就接近于1，这样抽样比对的精度就没有直接影响；一般地，当抽样比小于5%，甚至小于10%时，fpc可以忽略不计，即认为1-f为1；事实上略去fpc的影响是使高了一些注3：中的一般是未知的，因此需要通过样本进行估计,精选,15,定理2.2.3在简单随机抽样中，样本方差是总体方差的无偏估计量，样本协方差是总体协方差的无偏估计量推论2.2.1在简单随机抽样中，是的无偏估计量是的无偏估计量注：把分别作为的估计量，都称为标准差估计量,精选,16,当n充分大时，可以认为：的置信度为的近似置信区间的两个端点为：的置信度为的近似置信区间的两个端点为：它们分别可以用来估计,精选,17,书上P36例2-3例1为估计某中学200名新生的平均身高，用简单随机抽样的方法抽取10名进行测量，得数据如下：158，149，156，153，160，151，157，145，152，159（单位为cm），求平均身高的置信度为90%的置信区间。例2从一个有14848户居民的某区中抽取一个30户的简单随机样本，样本中每户的人数为：5，6，3，3，2，3，3，3，4，4，3，2，7，4，3，5，4，4，3，3，4，3，3，1，2，4，3，4，2，4，试估计该区居民总数及其标准差。,精选,18,习题2.5，2.6,作业,精选,19,2.3总体比例的估计,从容量为N的总体中抽取一个容量为n的简单随机样本，用P来表示具有某种特征的总体单元在全体总体单元中所占的比例（简称总体比例），用A来表示具有某种特征的总体单元的数目；相应地，用p来表示具有这种特征的样本单元在全体样本单元中所占的比例（简称样本比例），用a来表示具有这种特征的样本单元的数目；显然有：,精选,20,在简单随机抽样中，用作为的估计量，用作为的估计量定理2.3.1在简单随机抽样中，是的无偏估计量，是的无偏估计量，即定理2.3.2在简单随机抽样中，估计量的方差分别为其中,精选,21,定理2.3.3在简单随机抽样中，是的无偏估计量是的无偏估计量，其中,精选,22,当n充分大时，的置信度为的近似置信区间的两个端点为：的置信度为的近似置信区间的两个端点为：,精选,23,可以用分别作为的估计,精选,24,例从有15786位老人的某地区按简单随机抽样的方法抽取525位老人，调查每位老人的性别及生活能否自理，结果如下表：（1）估计该地区男性老人的比例并估计标准差；（2）估计该地区生活不能自理的老人的比例并估计标准差；（3）估计该地区生活不能自理的女性老人的人数，并以95%的置信度对其作区间估计。,精选,25,习题2.4补充题：有一份共有3042个人名和地址的名册中抽选了一个包含200个人名的简单随机样本，查出有38个错误地址，试估计这份名册中需要校正的地址的数目，并求出这个估计的标准差。,作业,精选,26,2.4总体比率的估计,总体比率是总体中两个指标的均值或总值之比，记为注：总体比例和总体比率都具有比的形式，但总体比例中分母是已知的，分子是分母的一部分；而总体比率中的分母可以是未知的，并且分子和分母之间可以没有部分和总体的关系,精选,27,设每个单元都具有两个指标Y和X，在简单随机抽样中，把作为总体比率的估计量定理2.4.1在简单随机抽样中，是的近似无偏估计量，即当n足够大时，,精选,28,定理2.4.2在简单随机抽样中，当n足够大时，,的估计量为：,精选,29,注：都是有偏的，但它们的偏倚都随着n的增大而减少并趋向于零；此外，当已知时，之间哪个偏倚更小并没有一定的结论，对不同的总体可能会有不同的结果,的估计量为：,精选,30,当，且时，的置信度为的近似置信区间的两个端点为：可用估计,精选,31,2.5总体均值与总体总值的比估计,通常，把需要估计的指标称为主要指标，把用来帮助主要指标估计的其它指标称为辅助指标在一定条件下，利用辅助指标的信息可以提高对主要指标的估计的精度一般地，辅助指标可以是主要指标的前期资料，也可以是表示单元规模的量，或者是单元的某个易测指标，等等,精选,32,如果主要指标Y与辅助指标X之间有正相关关系，就可以构造比估计量在简单随机抽样中，称为总体均值的比估计量，称为总体总值的比估计量，其中必须已知定理2.5.1在简单随机抽样中，是的近似无偏估计量，是的近似无偏估计量，即当n足够大时，,精选,33,定理2.5.2在简单随机抽样中，当n足够大时，,精选,34,的估计量分别为：,精选,35,当，且时，总体均值的置信度为的近似置信区间的两个端点为：总体总值的置信度为的近似置信区间的两个端点为：分别可以用来估计,精选,36,定理2.5.3在简单随机抽样中，当n足够大时，若则有：其中,精选,37,注：如果要使得比估计量的精度高于简单估计量的精度，那么指标Y与X至少应该要正相关，因此比估计量一般用于主要指标与辅助指标正相关的情形；一般来说，可以先作一个试点调查，利用试点调查的数据，算出的估计：判断是否成立，再决定是采用比估计量还是简单估计量,精选,38,书上P42例2-4例1某单位共有职工1000人，2003年初有关部门按简单随机抽样的方法抽取100人，经调查得：其中分别为第i个职工2001年、2002年的医疗费（1）估计2002年与2001年总医疗费的比率；（2）已知2001年职工总医疗费为125000元，对2002年职工的平均医疗费作点估计和置信度为95%的区间估计。,精选,39,例2对21户的一个试点给出如下的数据：其中为人数，为孩子数，为汽车数，为电视机数，假定总体总值X是已知的，你是否建议用比估计量代替简单估计量来估计孩子的总数、汽车的总数及电视机的总数？,精选,40,习题2.8，2.9补充题：一卡车桔子重1800磅，从中随机抽了10个桔子测量其含糖量和重量，得数据如下：试用比估计的方法估计含糖总量及其标准差（忽略fpc）。,作业,精选,41,设每个单元都具有两个指标Y和X，在简单随机抽样中，称为总体均值的回归估计量，称为总体总值的回归估计量，其中已知，b为参数，可以是事先设定的常数，也可以是某个特定的统计量注：参数b一旦确定，回归估计量的形式也就确定了；特别地，取，可得，取，又可得，即在简单随机抽样中，简单估计量和比估计量可看成是回归估计量的特殊情况,2.6总体均值与总体总值的回归估计,精选,42,设b为事先设定的常数定理2.6.1在简单随机抽样中，若为确定的常数，则是总体均值的无偏估计量，其方差为且是的无偏估计量,精选,43,定理2.6.2在简单随机抽样中，当时，达到最小值，且其最小值为其中为指标Y关于指标X的（有限）总体回归系数,精选,44,推论2.6.1在简单随机抽样中，若为确定的常数，则是总体总值的无偏估计量，其方差为且是的无偏估计量,精选,45,推论2.6.2在简单随机抽样中，当时，达到最小值，且其最小值为其中为指标Y关于指标X的（有限）总体回归系数,精选,46,当b为某个统计量时，当然希望它能使回归估计量的精度比较高，也即方差比较小；由定理2.6.2，故令b为指标Y关于指标X的样本回归系数（记为），即：,精选,47,此时，可以证明在简单随机抽样中，当n足够大时，回归估计量有以下性质：（1）是总体均值的近似无偏估计量，是总体总值的近似无偏估计量（2）,精选,48,（3）可以分别用来近似估计：,精选,49,注1：选的合理性注2：为总体残差方差，标准的回归理论中总体残差方差的无偏估计量正是,精选,50,对于简单随机抽样，在大样本情况下，回归估计量的精度既不会低于简单估计量的精度，也不会低于比估计量的精度对于大样本的简单随机抽样，可以考虑使用回归估计量,精选,51,例在一个有200棵桃树的果园中，一个有经验的农民对每棵树上桃子的重量作了一个目测，他得到总的重量X=11600磅，按简单随机抽样的方法抽10棵树，采集到的桃子称得重量如下：（1）用作为总的实际重量Y的估计量，试计算估计值及其标准差；（2）若用样本回归系数给出的线性回归估计量，精度是否更高？具体说明。,精选,52,习题2.10补充题：对100只兔子进行营养学研究，先称了每只兔子的重量得平均值3.1磅；两个月后，实验者为了粗略地了解这群兔子的体重，随机地挑选了10只兔子分别称它们的体重，得数据如下：试分别用回归估计法和比估计法来估计现在100只兔子的平均体重及其标准差。,作业,精选,53,估计量的精度和调查费用是一对矛盾，样本容量的确定需要在他们之间进行平衡在简单随机抽样中，调查费用的构成比较简单，一般用函数进行表述，其中代表总的调查费用，代表与样本容量无关的费用，代表调查一个单元的平均费用，代表样本容量,2.7样本容量的确定,精选,54,本节介绍在给定估计量精度（可以以方差、最大绝对误差、最大相对误差或变异系数中的任何一种形式提出）的条件下确定最小的样本容量的方法在实际工作中，如果同时对调查费用及估计量的精度作出规定，而计算出来的样本容量又不可能同时满足这两点的话，就必须作出调整：调高调查费用以达到精度要求，或者降低精度要求以保证费用不超支,精选,55,给定的精度时n的确定若给定的最大方差V，则由可得：令，则,精选,56,给定的精度时n的确定若以置信度给定的最大绝对误差d，则由可得：令，则,精选,57,给定的精度时n的确定若以置信度给定的最大相对误差r，则由可得：令，则,精选,58,给定的精度时n的确定若给定的最大变异系数C，则由，即可得：令，则,精选,59,给定的精度时n的确定不管以何种形式给出的精度，通常都是先计算出n的近似值（比n大，因此是n的一个保守的近似值）；如果远远小于N（记为），则可以取，否则按进行修正,精选,60,给定的精度时n的确定,精选,61,给定的精度时n的确定,精选,62,给定的精度时n的确定,精选,63,给定的精度时n的确定,精选,64,给定的精度时n的确定,精选,65,给定的精度时n的确定,精选,66,给定的精度时n的确定,精选,67,给定的精度时n的确定,精选,68,给定的精度时n的确定,精选,69,给定的精度时n的确定,精选,70,注1：在上述确定n的公式中，包含与总体有关的量，如：等，都需要进行估计，而后才能把n确定下来，而估计这些量的方法，一般有以下四种：（1）两步抽样（2）采用试点调查的结果，对有关总体量进行估计（3）利用以前同一总体或同类总体的抽样结果并进行一定的调整，作为有关总体量的估计值（4）根据总体的结构，应用数学的方法对有关总体量进行预测,精选,71,注2：在确定n时，若必须先对总体比例P进行估计，而又已知P的取值范围为时，则P的估计值可如下取得：（1）当对p的精度的要求为给定最大方差或最大绝对误差时，可将中最接近0.5的值作为P的估计值（2）当对p的精度的要求为给定最大相对误差或最大变异系数时，可将中最小的值作为P的估计值,精选,72,例在一个有4000户的地区进行简单随机抽样，要求估计拥有电炊具的户所占的百分比（在50%到70%之间），使估计量的标准差不超过2%；并要求估计拥有脱排油烟机的户所占的百分比（在10%到30%之间），使估计量的标准差不超过1%；问样本容量要多大才能同时满足两方面的要求？,精选,73,习题2.3，2.7补充题：要用简单随机抽样的方法估计某街道25127户家庭中拥有电话机的户数，要求以置信度95%使估计量的最大绝对误差为500户，应选多少户？（估计拥有电话机的家庭约占12%）,作业,精选,74,从容量为N的总体中如下抽取一个容量为n的样本：每一次都是从N个总体单元中等概率地抽取一个单元，观测并记录其指标值后将