第九章 方差分析ppt课件

精选,1,心理与教育统计学,精选,2,第九章方差分析,第一节方差分析的基本原理第二节单因素完全随机设计的方差分析第三节单因素随机区组设计的方差分析第四节平均数间的多重比较第五节多因素方差分析习题,精选,3,第一节方差分析的基本原理,一、方差分析的逻辑思想二、方差分析的基本条件三、方差分析的一般步骤1、提出假设2、计算平方和与自由度3、计算F值4、确定显著性水平并查F临界值表5、列方差分析总表,精选,4,一、方差分析的逻辑思想,1、方差分析是一种综合的检验方法方差分析是对引起方差变化的各种因素进行统计分析，检验引起各样本差异的主要原因（或因素），并与理论值比较，以判断其显著性。,精选,5,如果把研究获得的全部观测值视为一个总体，则总体中各观测值间总是参差不齐。造成这种变异（方差）的原因是多方面的，有些可能是由被控制的各组平均数的差异（即组间差异）产生的，有些可能是由随机抽样及其它未知的原因（即组内差异）所造成。,精选,6,2、方差分析的逻辑思想,首先将总体变异分解成样本组间变异和由抽样误差等其它原因产生的组内变异，然后分析变异各组成部分的关系。如果样本组间变异比抽样误差等其它原因产生的变异显著地大，则认为样本组间有本质性的差异，否则，认为样本组间无本质差异。,精选,7,在方差分析中，观测值之间的差异情况用离差平方和表示，符号为SS。方差分析首先是把总体平方和分解为组间平方和和组内平方和，即：式中，SST为总平方和；SSB为组间平方和；SSW为组内平方和。,下面举一个简单例子说明什么是总平方和、组间平方和和组内平方和以及这三者之间的关系。,精选,8,某小学科研组为研究教师对学生的态度是否影响学习成绩，在三年级的四个班中进行数学教学实验。一班采用表扬的方法，二班用责备的方法，三班用放任的方法，四班作为控制班。一段时间以后进行测验。从各班中分别随机抽取几份成绩，如下表。问教师对学生的态度是否影响学生的学习成绩？,精选,9,82.6,413,87,82,78,86,80,四班控制,64.75,81.2,85.5,259,406,342,85,68,79,81,81,82,90,36,73,83,74,87,88,三班放任,二班责备,一班表扬,精选,10,总体平方和是指总体中各观测值与总体平均数间的离差平方和，上例为：组间平方和是指各样本平均数与总体平均数间的离差平方和，上例为：,精选,11,精选,12,总平方和、组间平方和、组内平方和之间的关系：当总体平方和一定时，SSB越大，SSW就越小，反之亦然，这是进行方差分析的理论基础。如果用表示实验中的各个分数，表示第组的平均数，表示总体平均数，则SST、SSB、SSW可表示为：,式中，为各观测值；为第个样本的平均数；为总体平均数；,为第个样本的容量；=1、2、3、（为样本容量）；=1、2、3、（为样本个数）,精选,13,同理，总体自由度也可分解为组间自由度和组内自由度：总体自由度为：=nk-1=N-1；组间自由度：=样本个数-1=k-1；组内自由度：=k(n-1)（各样本的n相等时）或=(n1-1)+(n2-1)+(nk-1)=N-k(n不相等时)。,有了平方和和自由度，就可以求出组间均方和组内均方。组间平方和与组内平方和分别除以各自的自由度，则得到组间均方和组内均方，即：,精选,14,原假设为：各样本所来自的总体平均数等备择假设为：其中至少有一对平均数不等。如果检验结果拒绝原假设，则说明多个平均数中至少有一对是不相等的。但究竟哪一对不等，还须进一步进行统计分析。,1、变异的可加性2、总体服从正态分布3、方差齐性4、样本相互独立，随机抽取,二、方差分析的基本条件：,精选,15,三、方差分析的一般步骤,在方差分析基本原理的讨论中，我们初步介绍了方差分析的基本过程，现对其检验的具体步骤概括如下：1、提出假设H0：各样本所来自的总体平均数相等，即1=2=kH1：其中至少有一对平均数不相等。2、计算平方和与自由度，即求出：总平方和组间平方和组内平方和以及相应的总自由度dfT=nk-1、组间自由度dfB=k-1和组内自由度dfW=k(n-1)。,精选,16,精选,17,如果F值达到0.05水平的临界值，则在表中F值的右上角标*，说明P0.05，各平均数间差异显著；如果F值达到0.01水平的临界值，则在F值的右上角标*，说明PF0.01，PF0.05=3.49，P0.05，所以在0.05水平拒绝原假设，接受备择假设。结论为各组平均数间差异显著。,精选,33,列方差分析总表。方差分析总表,精选,34,（二）根据已知样本统计量进行方差分析,在不能直接得到原始数据，仅知道、或统计资料的情况下，也可以对多组数据的进行方差分析。其组间平方和与组内平方和的计算可用下面公式：,总体平均数：,组间平方和,组内平方和：,精选,35,例4某校长欲考察三年级四个语文教师的教学效果（假定四个班的条件基本相同），四个班期中语文考试成绩如表94。问这四位语文教师的教学效果是否有显著性差异？,表94三年级14班的语文成绩,精选,36,解：（1）提出假设H0：1=2=3=4，H1：至少有两个班的平均成绩不相等（2）计算相关统计量总体平均数：,组间平方和：,精选,37,组内平方和：,自由度：dfB=k-1=3，dfW=N-4=154均方：；,（3）计算F比值,精选,38,（4）确定显著性水平和F临界值取=0.05，查F分布表，得F0.05（3，154）=2.66。由于计算的F=2.515.41，P5.95，PF0.01（3，16）=5.29，所以拒绝原假设，接受备择假设。结论为：四位英语教师的教学效果之间有极其明显的差异。,精选,65,究竟哪两位教师之间的差异达到了一定显著性水平，还需利用t检验进一步各平均数间的多重比较。其步骤为：,（1）求各样本平均数，,（2）求最小差异的界限值,查t分布表，当时，。,又因为，n=5，因此,精选,66,（3）列出平均数多重比较表，表内为任意平均数间差异的绝对值。,表97平均数多重比较表,精选,67,（4）把每两个平均数间的差值与最小临界值进行比较。如果差值大于=0.05水平下的临界值，则在差值的右上方标*，表示两平均数间的差异显著；如果差值大于=0.01水平下的临界值，则在差值的右上方标*，表示两平均数间差异非常显著。此例的比较结论为第二个样本平均数与第一、第三个样本间均达到非常显著的差异，与第四个平均数达到了显著性差异，说明第二位英语教师的教学效果要好于其他三位教师。,精选,68,二、多重比较的q检验法,q检验法的公式为：,式中:和为任意被比较的两个平均数;k为两个平均数的比较等级；为方差分析中的组内自由度；为一定水平下与k对应的q表值；为标准误，其中MS为组内均方；n为样本容量。,以例5资料为例，说明q检验法的步骤：第一步，求出要比较的各样本平均数，并按由小到大的顺序排列等级。已知表9-7中各样本平均数为各平均数排列顺序为：1234,精选,69,精选,70,精选,71,第五步，列多重比较表。表内为每两个平均数间差异的绝对值。,表99,精选,72,第六步，把每两个平均数的差异与相应的比较等级所对应的界限值比较，如果其差异大于水平下的界限值，则在差值的右上角画；若差异大于水平下的界限值，则画。此结果与用t检验法的结果稍有不同，q法比t法严格些。,精选,73,在随机区组设计中，其标准误为，为误差自由度，其他不变。一般认为，q检验法适合于随机区组设计以及完全随机设计时样本容量相同的情况。,精选,74,第五节多因素方差分析,一、几个基本概念（一）因素和水平（二）交互作用二、多因素方差分析的统计原理总平方和的分解因素平方和的分解,精选,75,单因素实验设计,实验中只有一个自变量，实际是人为地只取一种因素作为自变量，对于其他影响因素则采取不同的实验手段加以控制，使之恒定。然而，在心理与教育研究领域中更多的现象具有多元性特点，其变化是多种因素共同作作用的结果，因而，多因素实验设计则把几种（两种及两种以上）影响因素同时作为自变量。,精选,76,多因素方差分析的功能：不仅能检验出各个因素对变量的影响，还可以检验出因素与因素相结合共同发生的影响“交互作用”。这是多因素方差分析最主要功能。多因素方差分析方法多种多样，下面通过一个简单例题，介绍多因素方差分析中共同的、最基本的问题。,精选,77,一、几个基本概念（一）因素和水平因素：指实验中的自变量而言，实验中只有一个自变量称为单因素实验，两个及两个以上自变量称为多因素实验。,因素的水平：每个因素的不同情况就叫该因素的不同水平。,精选,78,例如考察男、女儿童在智力方面的差异，以记忆、理解、言语作为智力的3个层次，则这个实验是两因素实验，其中一个因素是儿童的性别，这个因素有两个水平男、女；另一个因素是智力，它被分成3种水平记忆、理解和言语。这个实验可以用23表示。若实验为3333，则表示实验中有4个因素，每个因素都有3种水平。一般用小写字母表示水平,如等等。如上例中，、分别表示男孩和女孩，、分别表示记忆、理解、言语。,（二）交互作用请看下面两个试验（都是22设计）：,精选,79,(甲)（乙）,在实验甲中，A因素从变化为时，无论在还是水平，与的差都是6（104=6，137=6）。说明A因素的变化与或无关。,精选,80,同样，B因素，从变化为时，无论还是水平上，都等于3，说明B因素的变化与或无关。因此A、B两个因素彼此不影响，称之为没有交互作用。,在实验乙中，在时，,而在时，看来A因素的变化与B因素的不同水平有关；同样在时，=74=3，在时=510=5，即B因素的变化与A因素的水平也有关。在这种情况下，就要考虑A、B两个因素的彼此影响，也叫做“交互作用”，以AB表示。,精选,81,通过作图可以直观分析两个因素间是否有交互作用：如果A、B二因素间没有交互作用，则两线平行；若有交互作用，则两线交叉。当然，这只是直观示意，交互作用是否显著，必须进行方差分析。,精选,82,精选,83,二、多因素方差分析的统计原理(一)总平方和的分解若检验交互作用是否显著,需求出交互作用的平方和。因此多因素方差分析与单因素方差分析比较，其中最主要的一个特点是在对总平方和进行分解时可多分析出一项交互作用的平方和。两因素的完全随机设计时：,两因素的随机区组设计时：,其中表示A因素的组间平方和；表示B因素的组间平方和；表示交互作用的平方和。,精选,84,例6、研究不同的教学方法（A）、不同的教学态度（B）对儿童识字量的作用，将20名被试随机分成四组（每组5人），每组接受一种实验处理（即两因素水平之间不同组合之一），结果见表9-10。,精选,85,试分析两种因素对识字量的作用。表8-4中：A因素表示教学方法，其中为集中识字，分散识字，B因素表示教学态度，其中为“严肃”，为“轻松”。每一方各种的数据为识字量，括号中的数字表示为该格数据之和。,解：这是22的完全随机设计（1）求平方和首先，看成4组（）每组5人，按单因素完全随机设计求，由于，所以,精选,86,然后，求A因素的组间平方和B因素的组间平方和。所谓A因素的组间平方和，是假定全体只根据A因素来分组，则分两组，每组10人。,精选,87,同样，B因素的组间平方和为,这里可以看到：,精选,88,精选,89,而与一样也可分解为A、B、AB三部分因而,（3）求均方因为本题要检验的是A、B、AB的作用，对于它们的和就不需求均方了，只需分别求A、B、AB及组内均方：,精选,90,（4）F检验分别用去除，进行F检验对于A因素：,对于B因素：对于AB：查附表4，,精选,91,（5）列方差分析总表,*,精选,92,从以上方差分析的结果可以看出，因素之间交互作用非常显著，这表明集中识字与分散识字效果的不同是受不同教学态度影响的。同样，不同的教学态度对识字量的不同作用，也受到识字教学方式的影响。,精选,93,如果方差分析的结果，交互作用不显著，则对每个因素主效应的检验是重要的，如交互作用显著，则对每个因素的主效应检验意义不大。例如上面的事例中，B因素（教学态度）的作用显著，虽然A因素（方法）的主效应不显著，但它对B因素的影响或者说对交互作用的贡献不容忽视。交互作用显著，这本身就表明了两个因素对实验结果具有共同的重要性。,精选,94,也可以用中介项的方式求平方和：此时AB,精选,95,1330911376.45=1932.55A=11384.9-11376.45=8.45B=12640.5-11376.45=1264.05=13309-12930.2=378.8,精选,96,（二）因素平方和分解为了进一步讨论与在A因素的哪一个水平上差异显著（或者与在B因素的哪一个水平上差异显著），有时也常常接着进行下面的检验：（以例6来讨论）在水平上，B因素平方和以表示,同样，在水平上，B因素的平方和为,（验算：而,精选,97,在水平上，A因素的平方和为在水平上，A因素的平方和为,精选,98,方差分析表,精选,99,从结果看，虽然A因素从整体上看不显著，但它在水平上还是显著的，这表明不同的识字教学方式，在轻松的教室氛围中差异显著；而在严肃的情境中二者差异并不显著（F=4.06）B因素在和两个水平中都显著，这表明不管用那一种教学方法，不同的教学态度均有显著差异，其中在集中识字教学中两种教学态度使识字量的差异更显著（达到.01水平）。,精选,100,最后强调三点，避免在实际中误用：1、本章所介绍的随机区组设计中，每个区组内全部实验处理都出现。这种类型的区组设计叫完全区组设计。如果每一区组所含的实验处理数不同（只是全部处理中的部分，而且区组间各含的部分不同）叫做不完全区组设计，这时的方差分析比完全区组设计方差分析要复杂。,精选,101,2、对于22随机区组（完全）设计，只要掌握了单因素设计中完全随机与随机区组设计的联系和区别，就应当会解决22区组设计（完全）方差分析问题。,精选,102,例如，例6采取随