第八章 建立实验数学模型的一般方法ppt课件VIP

精选,1,第八章建立实验数学模型的一般方法,精选,2,获得变量间关系方式：1纯数学推导得出理论公式2将实验数据整理成反映变量间关系的数学模型，解决实际问题。利用实验数据获得数学模型两个步骤：确定函数形式求公式系数,精选,3,第一节寻求数学模型函数形式的几种方法由实验数据建立数学模型，关键的问题是如何确定变量间可能存在的函数形式。确定数模的函数形式：实验理论(专业)经验据实验曲线的形状确定函数形式,精选,4,1由实验理论推求数模的函数形式相似理论，准则数之间的函数形式Nu=f(Re,Pr)=aRebPrc准则数：几个参量综合而成无因次量，有一定的物理意义。,精选,5,精选,6,2利用经验确定数模函数形式（1）常用n次多项式拟和实验数据，即工程热力学，比热随热力学温度变化关系（2）多元问题，多元线性方程：,精选,7,（3）指数函数应用于放射性同位素测化石年代、概率中的指数分布、细菌的繁殖、原子弹的裂变、元素的衰减、化学反应速度、室内空气品质污染物含量（4）S型曲线主要用于描述动、植物的自然生长过程，又称生长曲线.,精选,8,（5）对数函数将乘法运算转换成加法运算，降低复杂度声压值空气品质气味浓度应用于PH值的计算（6）幂函数传热准则数关联式幂级数（7）双曲线函数是拟合地基沉降、水泥土桩极限承载力曲线中常用的函数形式,精选,9,3将实验数据标绘成曲线，与各种典型曲线对照，确定函数形式。,精选,10,第二节建立n次多项式的数学模型,理论和经验证明，当次数增加时，通常可以达到与原函数的任意接近程度。如果有n+1对实验数据（xi,i），可以把数模选成n次多项式的形式。解n+1个yi=(xi)方程组，即可求出n+1个未知的系数a0，al,a2,.an之值。,精选,11,一、n次多项式项数的确定用差分检验法决定多项式模型的项数步骤：选取成等差数列的自变量数值xi，列出对应xi的yi值一阶差分，二阶差分，三阶差分，作出差分表。,精选,12,原则：当第n阶差分列内所有的数值接近相等时，就意味着用n次多项式来表示未知函数已足够准确。,精选,13,（t，T）,精选,14,求二次多项式模型的系数c=a0+a1T+a2T2,牛顿插值公式,精选,15,用两点插值，从直线方程点斜式出发，y(x)=y0+推广到具有n+1个插值点的情况,牛顿插值公式,牛顿插值公式的优点是：增加一个节点时，只要再增加一项就行了,精选,16,xyyn(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+bn(x-x0)(x-xn-1)展开成如下形式：确定a0,a1,a2,牛顿插值公式,y=,精选,17,二次多项式,精选,18,三次多项式,(x-x0)(x-x1)(x-x2),(x-x0)(x-x1),精选,19,精选,20,例8-2求8-1二次多项式模型的系数c=a0+a1T+a2T2求二次多项式系数用到a0-y0y02y0hx0 x1a1-y0h2y0 x0 x1a2-2y0h,y02y0c0、2c0取平均值,精选,21,c0、2c0取平均值,精选,22,除了与差分有关，a0与x0、y0有关，a1与x0有关，用其它点作为x0、y0代入，求出不同的a0、a1a0、a1取平均值,精选,23,a2与x0,y0无关,精选,24,取平均值，数学模型为：与工程热力学结果一致。c计算，与实测c比较，两者完全吻合。插值法要求曲线过实验点。过分地追求符合实验数据（即使曲线通过实验点）也是徒劳无益的。,精选,25,y=f(x),y=p(x),精选,26,采用牛顿插值公式，求二次多项式数模的系数，与回归分析或曲线拟合法不同。不同点：插值是通过实验点连接曲线回归和拟合是在实验点附近找出较靠近的曲线插值公式所求出的结果要准确些(前提：测量数据准确无误差)，实验误差敏感,精选,27,第三节根据实验曲线选取数学模型,理论推导和专业经验均无法确定函数形式多项式方次高根据实验曲线选取数学模型步骤：将实验数据标绘成曲线按曲线的形状，对照各种典型曲线，初选一个函数形式用直线化检验法鉴别选择是否合理,精选,28,一、数模选择的直线化法直线化转化：所选出的函数yf(x)转换关系（根据原函数特点）：X=（x,y）Y=（x，y）转换成线性函数Y=A+B*X，所选函数是否可行的检验方法是：将已知（实测）的（xi,yi）值，代入变量转换公式求出成对新变量值（Xi,Yi)以新变量为坐标，将新变量值绘在直角坐标（X,Y）上如果这些坐标点接近一条直线，表明所初选的模型公式yf(x)合适,精选,29,例8-3在研究某化学反应速度时，得到的数据见表8-5，t为从实验开始算起的时间；y为在反应混合物中物质的量，选择一个合适的数学模型。,精选,30,【解】首先将所得实验数据标绘在图上。初选模型（图8-3指数函数，b1时的曲线非常相似。初选函数形式R=aAtb,图8-7冷冻机容量曲线,精选,49,（二）进行线性化转换对上式取对数，得：lgR=lga+blgAt新变量：Y=lgRX=lgAt,图8-8线性化后的冷冻机容量曲线,（三）验证所选公式将已知数据，在双对数坐标上绘制容量曲线。此曲线呈一直线，说明初选函数符合实际情况。,精选,50,（四）求公式系数a和b在表8-7中取直线上相距较远两点的数At1=0.73,R1=25;At2=2.50,R2=91代入模型公式中lgR=lga+blgAt求得公式系数：a=34.8;b=1.049经验公式为：R34.8At1.049,精选,51,第四节求数学模型公式系数的方法,选择数模的函数形式根据实测数据来确定数学模型公式系数确定数学模型公式系数实现：工具软件原理上：一、用图解法求公式系数二、用平均值法求数学模型的公式系数三、用最小二乘法求数模公式系数,精选,52,1当所研究的函数形式是线性时，Y=A+BX(8-12)其中系数A为该直线与Y轴的截距；系数B为该直线的斜率。系数A可由直线与Y轴的交点的纵坐标定出。系数B可由直线与ox轴夹角的正切（tg）求。用图解法很直观，也能达到一定精度。2也可选取直线上相互距离较远的两个点（两点一线），即两对实测数据（X1,Y1)(X2,Y2)代入模型（8-12）式直接求解两方程，即,一、用图解法求公式系数,精选,53,例在水流量恒定下，对冲洗锅炉水处理装置的滤料，得出洗涤水浓度c与时间t的关系，求数学模型。,精选,54,绘图与标准曲线比较判断曲线类型lnC=lnC0+At将实验数据绘在半对数纸上所有点均在一条直线上，所选指数模型是正确的。,精选,55,在表中选择两对相距“较远”的数据，如t11,C1=6.6,t2=8,C2=0.56代入模型中,求A,C0所求数学模型为,精选,56,二、用平均值法求数学模型的公式系数两点确定一条直线，将任何两对数据代入直线方程，解出直线公式的系数。有2n对实验数据，能求出n组不同的公式系数，取其平均结果。如何求平均？将已知数据，分成两组，直接计算出平均系数,精选,57,具体步骤：利用直线化方法得出线性方程Y=A+BX后，列出条件方程Yi=A+BXi.每一对（Xi，Yi）就有一个条件方程，实验数据为n对，条件方程有n个，近似直线n条。将所有n个方程等分成两大组。当n为奇数时，两组近似相等。再把每大组的条件方程相加，得出两个方程。,精选,58,解此两方程，求得“平均”意义下的系数A和B值。分组方法：通常按实验数据的先后次序，从中间近似分段，联立求解。这样分组往往可以得出满意的结果。,精选,59,精选,60,所求数学模型为：为检查此数学模型，将实测的自变量ti逐个代入公式，计算出y值，再与实测值yi相比较。比较结果：结果满意。,精选,61,三、用最小二乘法求数模公式系数(xi，yi),yi=f(xi)，找出一个（xi）使达到最小。（xi）就是最小二乘法得到的数学模型。得到的数模或曲线能更好的接近真实值。最小二乘法用于求取各种多项式的系数是很常见的。具体分析（怎样判断偏差平法和最小）见第九章第二节。,可以直接用统计软件进行最小二乘回归,精选,62,一元m次多项式,确定式中的a0,a1,a2,am的值。正规方程：,式中,（i=1,2,3，n对实测数据）,精选,63,精选,64,精选,65,求公式系数a0,a1,a2,a3。m=3,n=10组数据，2m=6,p（Sp）有2m+1=7个值；m=3，q(Vq)有m+1=4个值,精选,66,可以直接用统计软件进行最小二乘回归,精选,67,四、用回归分析法求模型系数当根据实验数据（xi,yi)，已初步选出其间的函数形式（或表达曲线）。如果我们将各数据点距这条最可能的曲线，在y方向的“距离”（实为偏差）之总和达到最小，就称y在x下向这条曲线回归。关于回归分析的基本原理留待第九章叙述。回归分析法确定公式系数，适用范围较广，对