高数—不定积分 讲解和例题(1)ppt课件.ppt

第四章不定积分,1,1.不定积分的概念与性质,2,已知物体运动的位置函数s=s(t)，求时刻t的瞬时速度v=v(t)。微分学解决的问题,已知物体运动的速度函数v=v(t)求运动的位置函数s=s(t)。积分学解决的问题,一般，已知函数f(x),要找另一个函数F(x),使F(x)=f(x)。积分学的任务,3,一、原函数与不定积分的概念,定义1：,已知f(x)是一个定义在区间I上的函数，,则称F(x)为f(x)在I上的原函数。,如：,x2是2x的原函数;,dsinx=cosxdx,sinx是cosx的原函数;,s(t)是v(t)的原函数。,如果存在函数F(x),使在I内的任一点都有,4,有关原函数的几个问题,1.,在什么条件下,f(x)一定存在原函数？,原函数存在定理：,若f(x)在区间I上连续，,则在I上必存在原函数。,2.,如果f(x)有原函数，那么共有几个？,设F(x)为f(x)的原函数，则,f(x)如有原函数，就有无穷多个。,5,F(x)+C包含了f(x)的所有原函数。,3.,如果f(x)有一个原函数F(x),那么F(x)+C是否包含了f(x)的,所有原函数？,6,定义2：,函数f(x)的全体原函数就称为,f(x)的不定积分。记作,其中,积分号,f(x),被积函数,f(x)dx,被积表达式,x,积分变量,例：,若F(x)为f(x)的一个原函数，则,7,不定积分的几何意义:,f(x)的一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，,方程为y=F(x).,就表示了一族积分曲线y=F(x)+C.,它们相互平行，即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。,x,8,先积分后微分的作用相互抵消。,由不定积分的定义，,则有,又,或,先微分后积分的作用抵消后加任意常数C。,9,例：,求通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线。,解：,设所求曲线方程为y=f(x).,由题意，曲线上点(x,y)的切线斜率,为一簇积分曲线。,10,二、基本积分表,注意：,依基本导数公式与不定积分的定义，,即可得基本积分公式：,请同学们参见教材第186页15个公式。,11,例题讨论,求下列不定积分：,例1.,例2.,12,三、不定积分的性质,性质2.,被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外。,13,利用基本积分表和不定积分性质，可计算一些简单函数的不定积分。注意3点：,1、在分项积分后，对每个不定积分的任意常数不必一一写出。可在积分号全部不出现后简写为一个常数。,2、检验积分结果是否正确，只要将其结果求导，看它的导数是否等于被积函数即可。,3、由于微分形式不变性，积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代，公式仍正确。,技巧：先将被积函数变形，化为表中所列的类型，然后再积分。,14,例3.,例4.,掌握被积函数的恒等变形。,15,例5.,同理，,例6.,例7.,16,例8.,例9.,(假分式,=多项式+真分式),17,从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。,所以注重积分过程的正确性是至关重要的。,即每一步运算都要看能否还原到上一步。,18,课外作业,习41（A）,1（双）,习41（B）,1（5，6，7，11），2,19,一、第一类换元法,(凑微分法),1.,凑常数,例1：,2,(2x=u),2.换元积分法,20,例2：,例3：,(+1),(x+1=u),21,例4：,(/a),a,(-1),同理：,22,例5：,同理：,23,例6：,24,2.,凑函数（变量）,定理1.,设F(u)是f(u)的一个原函数，且,原函数，且有换元公式：,u=(x)可导,证明：,25,换元公式：,(x)=u,前例：,(u=sinx),26,例1：,例2：,题目做得熟练后，中间变量u可以不写出来。,27,例3：,同理：,例4：,(secx+tanx),(secx+tanx),28,同理：,例5：,或,29,例6：,2,30,例7：,31,例8：,32,例9：,33,一般：,34,例10：,例11：,35,一般：,36,例12：,例13：,37,课外作业,习42（A）,3（4，5，6，13，16，17）,习42（B）,2（4，7，8）,38,二、第二类换元法,(变量代换法),定理2.,设x=(t)是单调的可导函数，,换元公式：,令x=(t)，,39,1.三角代换,例1：,分析：,目的：消去根式。,利用三角恒等式：,若令x=asint,被积函数,40,例1：,解：,令x=asint,dx=acostdt,t,x,a,41,例2：,分析：,若令x=atant,解：,令x=atant,dx=asec2tdt.,t,x,a,42,也可令x=asht(t0),解：,令x=asht，,dx=achtdt,43,例3：,分析：,若令x=asect,解：,令x=asect,dx=asecttantdt,t,x,a,44,或令x=acht(t0),如：,45,小结：,当被积函数含有因子：,目的：去根号。,46,例题讨论,例1：,解：,t,x,47,例2：,解：,令x=tant,dx=sec2tdt.,x,1,t,48,2.根式代换,例1：,分析：,目的：化分数幂为整数幂。(去根号),解：,-1+1,49,回代,50,例2：,解：,51,例3：,令x=sect,dx=asecttantdt,解二：,解一：,52,3.倒代换,对形如：,前例3：,53,例4：,解二：,解一：,54,熟记！,教材第203页积分公式：(16)(24),另外补充一个积分公式：,55,杂例,例1：,例2：,例3：,56,例4：,例5：,