中央广播电视大学开放教育试点

拓扑学基础课程教学大纲第一部分 大纲说明一、课程的作用与任务拓扑学基础课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课，近年来，它已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要基础课，拓扑学基础论是近代发展起来的高度抽象的一门几何学。它的主要任务是研究空间在某种变换下的不变性质，为进一步学习现代数学打下必要的基础。拓扑学基础课程的主要内容是拓扑空间、单纯复形和多面体、基本群、同调群等。二、课程的目的与教学要求1.拓扑学基础是一门抽象性很强的学科，它虽然是几何学的深入和继续，但在思想方法上却有着较大的飞跃，它比后者更抽象、更理论化。通过本课程的学习要培养学生抽象思维的能力，提高逻辑推理与论证能力。2. 理解集合的通常度量，度量空间，离散度量空间，空间的内部等概念。掌握拓扑空间，拓扑基，拓扑基的等价。3.了解邻域，子集的内点，内部，子集的聚点，闭包，闭集，点序列收敛于某点，连续映射，连续函数，粘接定理紧致子集，有限覆盖定理，正则空间，紧邻域，局部紧，连通拓扑空间，连通拓扑空间的等价命题，连通子集，极大连通子集，终点，局部连通。4.理解自然投影，商拓扑，商映射，自然投影，商拓扑，商映射。5.理解并掌握几何无关，维单纯形，单纯形的顶点。6.了解复形的维数，子多面体，连通分支，重心重分。7.了解单纯映射，承截单形。8.掌握基点的固定点，基点的闭路，乘积道路，乘积逆道路，基本群，单连通，平凡群。9.理解棱道，常值棱道，容许变换，棱道群。10.了解顺向面，维定向单纯，维标准单纯形，维奇异单纯形，维标奇异同调群。11. 理解正合，链复形的短正合序列，联结同态，重分链映射。三、课程的教学要求层次教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。第二部分 学时、教材与教学安排一、学时分配本课程共4学分，讲授72学时（包括习题课）学时分配如下：项目内容学时电视学时IP课学时第一章拓扑空间20第二章单纯复形和多面体10第三章基本群10第四章同调群14合计54188二、教学安排拓扑学基础课程安排在第4学期，一个学期完成全部教学任务。三、教材1文字教材是传授课程基本内容的主要媒体，是其它教学媒体的基础和核心。根据远程开放教育的要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，文字教材由主教材和辅导教材两部分组成。主教材和辅助教材是学生学习的主要用书，主教材是课程的基本内容，是教和学的主要依据。辅导教材对主教材的内容进行归纳、总结，帮助学生进一步理解基本概念，掌握基本方法，并通过典型例题介绍解题规律和技巧，提高学生解题能力。文字教材的编写，除要确保教材所必需的科学性、系统性、思想性及文图水平外，在内容的选取上，力图使起点适当，难度、深度与广度适中，重点突出，主次分明，详略得当。在写法上，要便于自学与自检。2. 电视录像教材是学生获得本课程知识的主要媒体之一。本课程的电视课以重点内容系统讲授和非重点内容精讲相结合的方式进行。精讲是讲要点、讲方法，或解答疑难问题。在电大多年录像教材的基础上，进行多种媒体的一体化设计，适当地多引入一些现代化教学手段，如计算机虚拟教室环境、动画、字幕、实镜等,强化教学效果。3IP课程是基于网络的新型教学媒体之一。本课程要积极探索基于网络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式，充分利用IP课程的卫星、网络传播的优势，充分发挥IP课程的教学内容可选和交换性，为学生自主学习本课程提供更方便的教学资源。四、教学环节1. 本课程配有电视课和IP课程，是重要教学形式。2.自学自学是电大学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一，本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。学生可以通过自学，收看电视、IP课程、直播课堂和网上教学辅导等方式进行学习，各教学点可以采用灵活多样的助学方式，帮助学生学习。3. 面授助学面授助学要服务于教学大纲、文字教材、音像教材或IP课程，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。4.作业独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。作业内容以教材中的习题为主，通过这些习题的练习，逐步加深对课程中概念的理解，熟悉各种基本解题方法，达到消化、掌握所学知识的目的。5.考试期末考试是对教与学的全面验收，是不可缺少的教学环节。考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，难度和题量的梯度应按照教学要求的三个不同层次安排。不出难题，怪题。第三部分 教学内容与教学要求一、 拓扑空间(一)教学内容1.度量空间：通常度量，度量空间，离散度量空间，空间的内部。2.拓扑空间：拓扑空间，拓扑基，拓扑基的等价。3.关于子集的基本概念：邻域，子集的内点，内部，子集的聚点，闭包，闭集，点序列收敛于某点。4.连续映射与同胚：连续映射，连续函数，粘接定理。5.紧致性：紧致子集，有限覆盖定理，正则空间，紧邻域，局部紧。6.连通性：连通拓扑空间，连通拓扑空间的等价命题，连通子集，极大连通子集，终点，局部连通。7.乘积空间：乘积空间。8.商空间：自然投影，商拓扑，商映射。9.映射的同伦，空间的伦型：两个映射的同伦，收缩映射。重点度量空间、拓扑空间、连续映射与同胚。难点紧致性、连通性、乘积空间、商空间、映射的同伦。(二)教学基本要求1.理解集合的通常度量，度量空间，离散度量空间，空间的内部等概念。掌握拓扑空间，拓扑基，拓扑基的等价。2.了解邻域，子集的内点，内部，子集的聚点，闭包，闭集，点序列收敛于某点，连续映射，连续函数，粘接定理紧致子集，有限覆盖定理，正则空间，紧邻域，局部紧，连通拓扑空间，连通拓扑空间的等价命题，连通子集，极大连通子集，终点，局部连通。3.理解自然投影，商拓扑，商映射，自然投影，商拓扑，商映射。二、单纯复形和多面体(一)教学内容1.单纯形、单纯复形和多面体：几何无关，维单纯形，单纯形的顶点，复形的维数，子多面体。2.多面体的连通性：连通分支。3.重心重分和单纯逼近：重心重分，单纯映射，承截单形。重点和难点几何无关，维单纯形，单纯形的顶点，复形的维数，子多面体，连通分支，重心重分，单纯映射，承截单形。(二)教学基本要求1.理解并掌握几何无关，维单纯形，单纯形的顶点。2.了解复形的维数，子多面体，连通分支，重心重分。3.了解单纯映射，承截单形。三、基本群(一)教学内容1.基本群的定义和性质：基点的固定点，基点的闭路，乘积道路，乘积逆道路，基本群，单连通，平凡群。2.计算方法及一些简单运用：棱道，常值棱道，容许变换，棱道群。3.应用：覆盖映射和覆盖空间。重点基点的固定点，基点的闭路，乘积道路，乘积逆道路，基本群，单连通，平凡群。难点棱道，常值棱道，容许变换，棱道群。(二)教学基本要求1.掌握基点的固定点，基点的闭路，乘积道路，乘积逆道路，基本群，单连通，平凡群。2.理解棱道，常值棱道，容许变换，棱道群。四、同调群(一)教学内容1.单纯同调群：顺向面，维定向单纯等概念和一些定理、性质。2.奇异同调群：维标准单纯形，维奇异单纯形，维标奇异同调群。3.正合序列和切除定理：正合，链复形的短正合序列，联结同态，重分链映射。4.单纯和奇异同调的一致