解析法在几何中的应用

解析法在几何中的应用 【摘要】解析法彻底改变了数学的研究方法，它把几何的问题变换成一个相应的代数问题，再把代数问题归结到去解一个方程式，从而使解决问题的方法变得更为简单。本文将从平面几何、立体几何、平面解析几何和空间解析几何四大方面举例说明解析法在几何中的应用。 【关键词】解析法；几何；轨迹；对称 笛卡尔为了把算术、代数、几何统一起来，他设想把数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式，于是笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系，x和y的不同数值可以确定平面上不同的点，即平面上的点和实数对(x,y)建立了一一对应关系，这就是解析几何的基本思想，也是代数和几何的第一次完美结合。 一、解析法的概念 平面解析几何的基本思想有两个点： 第一，在平面建立坐标系，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一实数对(x,y)建立起一一对应的关系，除了直角坐标系外，还有斜坐标系，极坐标系，空间直角坐标系等等，在空间直角坐标系中还有球面坐标系和柱面坐标系。 第二，坐标系将几何对象和数，几何关系和函数之间建立了密切联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了，用这种方法研究几何学通常就叫做解析法。 二、解析法的意义 这种解析法不但对于解析几何是重要的，而且对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的应用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系起来正如笛卡尔的数学格言：“一切问题可以化成数学问题，一切数学问题可以化成代数问题，一切代数问题可以化成方程求解的问题。” 三、解析法在平面解析几何中求轨迹问题的应用 根据形成曲线的几何条件，在适当的坐标系下求出曲线的方程，这是解析几何的基本问题，也是代数方法研究几何问题的基础。轨迹求法的步骤是根据题设条件，分析、推导出动点所满足的几何性质，然后根据圆锥曲线的定义，以及所熟悉的各种曲线的定义，写出轨迹方程，并说明其图形的形状和位置。 例1已知ABC的两个顶点A、B分别是椭圆2x2+3y2=12的左、右焦点，且求顶点C的轨迹方程 解 椭圆的焦点分别为A(-2,0)、B(2,0)，则|AB|=22 由，得 即2(sinB-sinA)=sin(A+B)=sinC 由正弦定理，得2(|AC|-|BC|)=|AB|=22 由双曲线的定义知，即ABC的顶点C的轨迹是以原点为中心，a=2-2，c=2的双曲线的右支（除去顶点(2-2,0)） b2=c2-a2= 3-2，故ABC的顶点C的轨迹方程为：2x2- 2-3y2=1(x0,y0) 四、解析法在空间解析几何中关于点、直线、平面之间对称性的应用 在几何历史上，不少学者对对称问题作了很多研究从代数观点看，实质上就是一种变换下面用解析法展开了对点、直线、平面之间的对称性问题的求解方法的研究，并用定理证明和例题解答的形式明确给出了各种对称性问题的求解方法 定理 1点p1(x1,y1,z1)关于点p0(x0,y0,z0)的对称点p1的坐标是 x1=2x0-x1，y1=2y0-y1，z1=2z0-z1 证明 设点P1(x,y,z)是点P1(x1,y1,z1)关于点P0(x0,y0,z0)的对称点，由中心对称的性质，P0是线段P1P1中点，因而有 故P1的坐标是(2x0-x1，2y0-y1，2z0-z1)。 利用定理1的结论可以解决关于一点的对称直线与对称平面问题。 例2 求平面：x+y+z-5=0关于点P0(1,2,3)的对称平面 解 设上的点P(x,y,z)关于点P0的对称点为P1(x1,y1,z1)，则点P1在平面上： x+y+z-5=0（1） 由中点坐标公式得：x1=2-x，y1=4-y，z1=6-z.（2） 把（2）代入（1）,即得所求对称平面的方程x+y+z-7=0 例3 求直线l：关于点P0(0,0,1)的对称直线l 解 设l上的点P(x,y,z)关于点P0的对称点为P1(x1,y1,z1)，由P1在直线l上可得（3） 由中点坐标公式，得x1=-x，y1=-y，z1=2-z（4） 把（4）代入（3）得所求对称直线l的方程 定 理 2 点P1(x1,y1,z1)关于平面：Ax+By +Cz+D=0的对称点P1的坐标是 证明 因P1(x1,y1,z1)为点P1关于平面的对称点，则P1P1的中点 在平面上， （5） 与n=A,B,C共线， （6） 解（5）与（6）得证 定理3 点P1(x1,y1,z1)关于直线的对称点P1的坐标是其中：l2+m2+n2=1. 证明 因为P1(x,y,z)为点P1关于直线l的对称点，则P1P1的中点在直线l上， （7） 与v=l,m,n垂直， l (x1-x1)+m(y1-y1)+n(z1-z1)=0 （8） 解（7）与（8）定理得证。 利用定理3不仅可以直接求出关于一直线对称点的问题而且通过它的证明方法可以解决关于一直线的对称直线与对称平面问题。关于一直线对称点的问题把已知条件直接代入到定理3的公式中即可求出关于一直线对称点的坐标,下面将举例说明如何通过定理3的证明过程来解决关于一直线的对称直线与对称平面问题。 例4 求直线关于直线的对称直线l1。 解 可以证明二直线l1与l2相交,首先求出二直线的交点Q(-1,-1,0)。 取P1(0,0,1)l设P1(x,y,z)为点P1关于直线l2的对称点，则P1P1的中点在直线l2上， （9） 与v2=-1,-1,1垂直，-x1-y1+z1-1=0（10） 解（9）与（10）得对称点 最后由两点式写出对称直线l1的方程 综上所述，我们可以知道用解析法解题往往要通过坐标系写出几何关系的表达式，再进行计算