余数问题ppt课件

余数问题,基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr，被除数除数=商余数且0rb,那么余数（r）叫做被除数a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。,1,三大余数定理,A.ab=qr余数的加法定理：a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1。当余数的和比除数大时，所求的余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2。,2,B.余数的减法定理,ab=qra与b的差除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316=7除以5的余数等于2。两个余数差31=2，当余数的差不够减时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，2314=9除以5的余数等于4，两个余数差为3+54=4。,3,C.余数的乘法定理,ab=qr余数的乘法定理：a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。当余数的积比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。乘方：如果a与b除以c的余数相同，那么a的n次方与b的n次方除以c的余数也相同。,4,例1:求2461135604711的余数是多少？,根据246111=223.813511=123604711=5498当余数的积比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数.2461135604711的余数等于83311的余数19211=175余数是5,5,练习1(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351除以17的余数,解析：先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数除以17的余数分别为2，7和11，余数为1,6,2.(1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是_,本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和1-9共有9个数字，10-99共有90个两位数，共有数字：902=180(个),100-999共900个三位数，共有数字：9003=2700(个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，即(1997-9-180)3=6022有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是702，其中2未写出来因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：7029=78(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2=7,7,2.同余定理,1.同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：3744(mod7)读作37、44对于模7同余（“”)读作同余.一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：ab(modd),8,性质,（一）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。例如：17与11除以3的余数都是2，所以（1711）能被3整除。例1有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.。,这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数101-59=42，59-45=14，（42,14）=14,14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14,9,练习.1.有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.,(法1)39-3=36，51-3=48，（36,48）=12，12的约数是1，12,3,4,2,6，因为余数为3要小于除数，这个数是4，6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数51-39=12，147-39=108，（12,108）=12，所以这个数是4，6,12,10,2.学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？,解析：所求班级数是除以余数相同的数那么可知该数应该为118-33=85和67-33=34的公约数，所求答案为17,11,3.(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_,由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除。因为13903-13511=392,14589-13903=686（392,686）=98所以所求的最大整数是98.,12,（二）余数判别法：,当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除数位数较多时，计算是很麻烦的。建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余，由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数。整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；整数N被11除的余数等于N的奇数