高考数学总复习概率与统计(提高)

高考冲刺 概率与统计编稿：孙永钊 审稿：张林娟【高考展望】在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值取每一个值的概率列分布列求期望方差常以大题形式出现概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关而对于统计方面的考查，主要是考查分层抽样、系统抽样的有关计算或三种抽样方法的区别以及茎叶图，频率分布表，频率分步直方图的识图及运用考查概率与统计知识点的高考试题，既有自身概念的思想体现，如：样本估计总体的思想、假设检验的思想；又有必然与或然思想、函数与方程思想和数形结合思想【知识升华】1随机抽样(1)简单随机抽样；(2)分层抽样；(3)系统抽样2统计图表频率分布表、频率分布直方图、茎叶图3样本特征数(1)众数；(2)中位数；(3)平均数；(4)方差；(5)标准差4变量的相关性与最小二乘法5独立性检验对于值域分别是x1，x2和y1，y2的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdn则 (其中nabcd为样本容量)6概率(1)概念的统计定义；(2)两个随机事件之间的关系：包含关系；相等关系；和事件；积事件；互斥事件；(3)概率的基本性质：任何事件A的概率都在0,1内；如果事件A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)；事件A与它的对立事件的概率满足P(A)P()1；(4)古典概型：特征是基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性；(5)几何概型：特征是基本事件个数的无限性、每个基本事件出现的等可能性1离散型随机变量的分布列它具有两条基本性质：(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1，即总概率为1；(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和2超几何分布列3条件概率和独立事件、二项分布(1)条件概率；(2)事件的独立性；(3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率4离散型随机变量的均值和方差(1)均值：性质E(Y)E(aXb)aE(X)b.若X服从两点分布，则E(X)p.若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np.(2)方差：性质D(aXb)a2D(X)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)5正态分布(1)概念；(2)正态曲线的六个特点【典型例题】类型一、古典概型与几何概型例1（1）甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球则取出的两个球是不同颜色的概率为 （2）在等腰的斜边取一点，则的概率为 【思路点拨】（1）抓住每个基本事件等可能性，建立适当的古典概率模型（2）几何概型主要有长度、角度、面积、体积等度量值之比【解析】（1）在每个盒中不同颜色的球的个数相同，从颜色考虑，在甲盒中取球有种可能，在乙盒中取球有种可能，总共有种可能，两个球颜色不同有种可能，不同颜色的概率为（2）点在上任何一个位置的可能性相等，且，则的概率为【总结升华】构建概率模型时不能忽略每个基本事件的等可能性要求。举一反三：【变式】甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】甲、乙两人依次抽一题的结果有个（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有个，所求概率；（2）法一：因为甲，乙二人都没有抽到选择题的概率是，故甲，乙二人中至少有一人抽到的概率为.法二：甲，乙二人中至少有一人抽到选择题包含着三种情况：甲，乙二人都抽到选择题，其概率为甲抽到选择题，乙抽到判断题，其概率为甲抽到判断题，乙抽到选择题，其概率为，三种情况是三个互斥事件，故甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率P= 例2.设函数f(x)的定义域为D.(1)a1,2,3,4，b1,2,3，求使DR的概率；(2)a0,4，b0,3，求使DR的概率【思路点拨】函数定义域为R，说明其判别式不大于零，第一问中(a，b)取值个数有限，是古典概型，第二问中(a，b)的取值个数无限，是几何概型，把(a，b)看做坐标平面上的点，就构造出了基本事件所在的面，只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可【解析】 (1)a1,2,3,4，b1,2,3，(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种而DR，有4(a1)24b20，即|a1|b|，那么满足DR的(a，b)的所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种，其概率为P(2)a0,4，b0,3，所有的点(a，b)构成的区域的面积12，而DR，有4(a1)24b20，即|a1|b|，满足a0,4，b0,3，|a1|b的点(a，b)构成的区域的面积为7，故所求概率P举一反三：【变式】在不等式组所表示的平面区域内，点(x，y)落在x1,2区域内的概率是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，不等式组所表示的平面区域的面积是，在这个区域中带形区域1x2的面积是1，故所求的概率是类型二、等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率例3.袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）计分介于20分到40分之间的概率 【思路点拨】互斥事件的概率加法公式与对立事件的概率计算【解析】1）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以（2）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，即最大数字为3或4，则最大数字为3时：最大数字为4时：【总结升华】在计算互斥事件的概率时分类不清；不能利用对立事件进行快速计算举一反三：【变式】盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分 . 现从盒内任取3个球.（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率； （2）求取出的3个球中至少两个球颜色相同的概率例4.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，（1）作不放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率（2）作有放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率【思路点拨】“第二次才取到黄色球”是指“第一次取到白色球”与“第二次取到黄色球”同时发生【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,（） .（）【总结升华】容易混淆P(AB)与P(B/A)的含义, P(AB)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而P（B/A）表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率举一反三：【变式】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_ _（写出所有正确结论的编号）； ； 事件与事件相互独立；是两两互斥的事件；的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关例5.在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）【解析】0.3提示:【总结升华】本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.例6右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是信号源（A）（B） （C）（D）【解析】由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，所以选D.【总结升华】本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.类型三、随机变量的分布列、期望与方差例7（2016 渭南一模）一个盒子里装有6张卡片，其中红色卡片4张，编号分别为3，6，8，9；蓝色卡片2张，编号分别为6，8，从盒子中任取3张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）（）求取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率；（）记X为取到的卡片中红色卡片的张数，求X的分布列和数学期望【解析】（）取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率：p=（）由题意取到红色卡片的张数X的可能取值为1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 1 2 3 PEX=2【变式】（2016 重庆模拟）设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为，若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完（）求他前两发子弹只命中一发的概率；（）求他所耗用的子弹数X的分布列与期望【解析】（）某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为，他前两发子弹只命中一发的概率：p=（）由已知得他所耗用的子弹数X的可能取值为2，3，4，5，P（X=2）=（）2+（）2=，P（X=3）=，P（X=4）=，P（X=5）=+=，X的分布列为： X 2 3 4 5 PEX=例8.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：012012PP则比较两名工人的技术水平的高低为 .【思路点拨】一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.【解析】工人甲生产出次品数的期望和方差分别为： ，；工人乙生产出次品数的期望和方差分别为：，由E=E知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DD，可见乙的技术比较稳定.【总结升华】期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.类型四、抽样方法与总体分布的估计例9.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样【思路点拨】抓住分层抽样中“按比例抽取”的本质；抓住系统抽样中“按相同的间隔规律抽取样本”的特点； 【解析】对于系统抽样应在1-27，28-54，55-81，82-108，109-135，136-162，163-189，190-216，217-243，244-270中各抽取一号，对于分层抽样应在1-108抽取4个号，109-189抽取3个号，190-270抽取3个号，故选D.【总结升华】在本例中,要能正确审清题意，否则求解思路受阻；不能把每层抽的人数转化为在哪个区间取号；（3）忽视系统抽样等距的特点，分段的临界值会出错. 举一反三：【变式】(1)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数分别为()A26,16,8 B25,17,8 C25,16,9 D24,17,9(2)从2012名学生中选取50名学生参加英语比赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2012人中，每人入选的概率()A不全相等 B均不相等C都相等，且为 D都相等，且为【答案】(1)B(2)C【解析】(1)从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003，则由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是=12，故被抽取的号码成等差数列该等差数列以3为首项，12为公差，则其通项公式为an12n9(nN*)所以在第营区的学生数需满足012n9300，解得n25，故第营区的有25人；在第营区的学生数需满足30012n9495，解得26n42，可知在第营区的学生数为17人；在第营区的学生数需满足49512n9600，解得42n50，可知在第区的学生数为8人综上可知选择B.(2)设个体为a，a入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选，a不被剔除的概率是1，a按照系统抽样入选的概率是，这两个事件同时发生则a被入选，故个体a入选的概率是例10.考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161 作出频率分布表；画出频率分布直方图.【思路点拨】确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.【解析】最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。确定组距为3，组数为10，列表如下： 频率分布直方图如下：【总结升华】合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功估计总体分布的基本功。举一反三：甲班 乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 98 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 图4-3-1【变式】随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图示.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.例11.如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（1）求直方图中x的值 . （2）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.【思路点拨】利用矩形面积之和等于1求x的值；理解问题(2)有放回任取3位居民，其概率分布符合二项分布，利用公式计算分布列和数学期望.【解析】（1），（2），X0123P0.7290.2430.0270.001【总结升华】（1）不清楚矩形面积表示的就是频率；（2）从频率分布直方图读取数据时,不注意组距及纵坐标是频率除以组距,而各长方形面积和为1；（3）不记得二项分布及期望的计算公式.举一反三：【变式1】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数4124232101)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)【解析】 (1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94)，94,102)，102,110的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P(X2)0.04，P(X2)0.54，P(X4)0.42，即X的分布列为X224P0.040.540.42X的数学期望E(X)20.0420.5440.422.68.【变式2高清视频：概率与统计ID:369683 例2】以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）【解析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021PEY=17P（Y=17）+18P（Y=18）+19P（Y=19）+20P（Y=20）+21P（Y=21）=17+18+19+20+21=19类型五、回归分析及独立性检验例12.一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次实验，测得的数据如下：零件个数x(个)102030405060708090100加工时间y（分）626875818995102108115122（1）与是否具有线性相关关系？ （2）如果与具有线性相关关系，求回归直线方程.（3）并据此估计加工200个零件所用的时间为多少？ 【思路点拨】画散点图，观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近；利用样本相关系数的计算公式对其进行相关性检验；利用公式计算出,再由求出，写出回归直线方程.【解析】（1） ，. 于是： ，又查得相应于显著性水平0.05和的相关系数临界值，由.（2）设所求的回归直线方程为，同时，利用上表可得，即所求的回归直线方程为.()当时，的估计值.故加工200个零件时所用的工时约为189个.【总结升华】(1)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式；(2) 题目中若已知呈线性相关关系，就无须进行相关性检验.否则，应先进行相关性检验.因为若两个变量不具备相关关系，或者说它们之间相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的；（3）此题对计算能力的要求较高，若计算不慎，可导致对线性相关性的判断有误.举一反三：【变式】（1）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据： 房屋面积（）11511080135105销售价格（万元）24.821.618.429.222 （）画出数据对应的散点图；（）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（）据（）的结果估计当房屋面积为时的销售价格 为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B. （）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积频数1025203015（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面22列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3： 疱疹面积小于70疱疹面积不小于70合计注射药