高考数学总复习空间向量在立体几何中的应用(提高)

【巩固练习】1若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）A B C或 D或2已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、3.（2014 合肥二模）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，下列说法中，不正确的是（）AA，C，P，Q四点共面B直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值CPACD设二面角PACB的大小为，则tan的最小值为4如图直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为3，底面是边长为2的菱形，且BAD=60 ，P是棱A1D1的中点，则BP的长等于（ ） A、 B、 C、 D、45.（2014秋 临海市校级期中）A是锐二面角l的内一点，AB于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角l的平面角大小为6. 已知=（1，5，-2），=（3，1，z），若，=（x-1，y，-3），且平面ABC，则实数x，y，z分别为 .7. 若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且ab,ac,则a= .8. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于 .9如图，已知四棱锥P-ABCD，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA=AB=a，点M是PC的中点，(1)求异面直线BP与MD所成角的大小；(2)求二面角M-DA-C的大小。10如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。（1）求点D到BE的距离；（2）求点D到面BEF的距离；（3）求BD与面BEF所成的角。11如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值12如图，三棱锥P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC，求二面角A-PC-B的余弦值13如图，在四面体ABCD中，AB平面BCD，BC=CD，BCD=90，ADB=30.E、F分别是AC，AD的中点. (1)求证：平面BEF平面ABC；(2)求平面BEF和平面BCD所成的角. 14如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCkPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC()求证：OD平面PAB；()当k时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；15. （2015 漳州二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60（）求证：AC平面BDE；（）求二面角FBED的余弦值；（）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论参考答案：1【答案】C 【解析】 2【答案】B 3.【答案】D【解析】正方体ABCDA1B1C1D1中，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，如图：当PQ连线与AC平行时，A，C，P，Q四点共面，A正确；直线PQ与平面BCC1B1所成的角为定值，显然正确，P在平面BCC1B1的射影是B1，线段B1A1，B1C1上（不包括端点）各有一点P，Q，且B1P=B1Q，直线PQ是一族平行线与平面BCC1B1所成的角为定值，B正确；对于C，当P在A1B1 的中点时，不妨设作法的棱长为2，cosPAC=0，PAC是钝角，PAC正确；对于D，作PEAB于E，过E作EFAC于F，=PFE，则tan的最小值时EF最大，此时P在B1，tan=，D不正确故选D4【答案】A 5.【答案】60【解析】由题意可知A是二面角l的面内一点，AB平面于点B，AB=，A到l的距离为2，如图：AOl于O，因为AB平面于点B，连结OB，所以AOB是二面角l的平面角，或补角，所以sinAOB=，AOB=60或120l是锐二面角，二面角l的平面角大小为60故答案为：606.【答案】，-，47.【答案】或8.【答案】9【解析】以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，由已知得A(0，0，0)、 B(a，0，0)、 D(0，a，0)、C(a，a，0)、 P(0，0，a)则PC的中点 (1)设直线PB与DM所成的角为，所以直线PB与DN所成的角=90(2) 设,则所以，二面角M-DA-C所成的角为4510【解析】（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，E、F分别是A1B1和B1C1的中点，B（4，0，0），E（2，0，4），D（0，4，0），则=（-2，0，4），=（-4，4，0）在方向上的射影为 点D到BE的距离为 d=(2)设=（x,y,1）为平面BEF的法向量，则，=（0，2，4），=-2x+4=0, =2y+4=0x=2, y=-2,=(2,-2,1)向量在方向上的射影为点D到面BEF的距离为 .(3)设BD与面BEF所成的角为q，则sinq=|cos|=|=|=BD与面BEF所成的角是arcsin 。11【解析】以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为12【解析】以A为坐标原点，,分别以AB、AP所在直线为y轴、z轴,以过A点且平行于BC直线为x轴建立空间直角坐标系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),设平面PAC的法向量=(a,b,c)，则m，m，且=(0,0,1)，=(1,0)，不妨取=(,1,0)，设平面PBC的法向量=(e,f,g)，则，且=(0,)，=(1,0,0),不妨取=(0,1,)，cos=,故二面角A-PC-B的余弦值为.13【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0,0,a).由ADB=30可得：B(0,0,0),. , EFAB, EFBC. EF平面ABC，又EF平面BEF 平面BEF平面ABC.(2)作EEBC于E，作FFBD于F，显然， BEEF ， , ，即平面BEF和平面BCD所成的角为.14【解析】OP平面ABC,OA=OC,AB=BC,OAOB,OAOP,OBOP.以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0)，B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). ()D为PC的中点,又,OD平面PAB.()则PA=2a,可求得平面PBC的法向量cos.设PA与平面PBC所成角为,刚sin=|cos|=.PA与平面PBC所成的角为.15.【解析】证明：（）因为DE平面ABCD，所以DEAC因为ABCD是正方形，所以ACBD，从而AC平面BDE（4分）解：（）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示因为BE与平面ABCD所成角为600，即DBE=60，所以由AD=3，可知，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），所以，设平面BEF的法向量为n=（x，