高考数学必修知识讲解集合的基本关系及运算提高

集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：要点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）4.集合基本运算的一些结论若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一、集合间的关系例1. 集合，集合，那么间的关系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不对 【答案】B【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，即.综上知，应选. 【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.举一反三：【变式1】若集合，则（ ）.A. B. C. = D. 【答案】C例2. 写出集合a，b，c的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为a，b，c，含有2个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3个元素的子集为a，b，c，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.举一反三：【变式1】已知，则这样的集合有 个.【答案】7个【变式2】（2016 湛江一模）已知集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）xA，yA，x+yA，则B的子集个数为（ ）A3 B4 C7 D8【答案】D【解析】 集合A=1，2，3，平面内以（x，y）为坐标的点集合B=（x，y）xA，yA，x+yA，B=（1，1），（1，2），（2，1）B的子集个数为：23=8个故选D例3集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四个集合都不相同【解析】集合A=x|y=x2+1的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；集合B=y|y=x2+1的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；集合C=(x,y)|y=x2+1的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；集合D=y=x2+1是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件举一反三：【变式1】 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D【变式2】 设集合，则与的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合M表示函数的定义域，有；集合N表示函数的值域，有，故选A.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】【变式3】 设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】例4已知若M=N，则= A200 B200 C100 D0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O0，|x|，y可知若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x0.若xy=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy0若，则x=y，M，N可写为M=x，x2，0，N=0，|x|，x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=1当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x1当x=-1时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点举一反三：【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：当b=1时，a=-1，当时，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)综上：a=-1，b=1，b-a=2.类型二、集合的运算例5. 设集合，求.【答案】,【解析】先将集合、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.集合表示3的倍数所组成的集合；集合表示除以3余1的整数所组成的集合；集合表示除以3余2的整数所组成的集合；集合表示除以6余1的整数所组成的集合；,.【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.举一反三：【变式】（2014 河南洛阳期中）已知集合，则MN（ ）A B C D【答案】C【解析】集合M中的代表元素是x，集合N的代表元素是y，表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M=x|xR，N=y|y0，所以MN=x|x0，选C例6.（2016春 福建期中）已知全集U=R，集合A=xRx23x40，B=xR2ax4a，aR（1）当a=1时，求；（2）若AB=A，求a的取值范围【思路点拨】（1）将a=1代入B，求出B，得到B的补集，从而求出其和A的交集即可；（2）根据A、B的包含关系，通过讨论B得到关于a的不等式组，解出即可【答案】（1）；（2）或a4【解析】A=xRx23x40， （1）当a=1时，B=xR2x5，（2）由已知AB=A，得；当时2a4+a，即a4，满足；当时，即时，满足；综上所述a的取值范围为或a4举一反三：【变式1】（1）已知：M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求MP和MP；（2）已知：A=y|y=3x2， B=y|y=-x2+4， 求：AB，AB；（3）已知集合A=-3， a2 ，1+a， B=a-3， a2+1， 2a-1， 其中aR，若AB=-3，求AB.【答案】（1）x|x2或x=-1，2；（2）y|0y4，R；（3）-4，-3，0，1，2.【解析】（1）P=2，-1，MP=x|x2或x=-1，MP=2.（2）A=y|y0， B=y|y4， AB=y|0y4， AB=R.（3）AB=-3，-3B，则有：a-3=-3a=0， A=-3，0，1， B=-3，1，-1AB=-3，1，与已知不符，a0；2a-1=-3a=-1， A=-3，1，0， B=-4，2，-3， 符合题设条件，AB=-4，-3，0，1，2.【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.【高清课堂：集合的运算 377474 例5】【变式2】设集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.【答案】2，3，6，18【解析】由AB=2，3，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18当a=-1时，A=2，3，6，B=2，2，-9这既不满足条件AB=2，3，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上AB=2，3，6，18例7.已知全集，求CuA.【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.【解析】当时，方程无实数解.此时.CuA=当时，二次方程的两个根，必须属于.因为，所以只可能有下述情形：当时，此时 CuA=；当时，此时 CuA=.综上所述，当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.举一反三：【变式1】设全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合A，B.【答案】1，3，5，8，2，3，5，6.【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在AB中.由集合的图示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.类型三、集合运算综合应用例8（2014 北京西城学探诊）已知集合A=x|4x2， B=x|1x3，C=x|xa，aR（1）若（AB）C=，求实数a的取值范围；（2）若（AB）C，求实数a的取值范围【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点【答案】（1）a3 （2）