高考数学必修知识讲解一元二次不等式及其解法提高

一元二次不等式及其解法编稿：张希勇 审稿：张希勇【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根要点诠释：（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.要点三、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： 时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；时，求根；时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的过程开始结束将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0)=b2-4ac求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为原不等式解集为x|xx2(x10【解析】若a=0，原不等式化为-x+10，解集为x|x1；若a0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程的判别式=1-4a ()当=1-4a0，即时，方程有两个不等实数根，当时，函数的图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；当a0时，函数的图象开口向下，与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：所以，此时不等式的解集为；综上所述：a0时，原不等式解集为；a=0时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为实数集R.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.举一反三：【变式1】（2015 天津校级模拟）已知2a+15a或x-a B.x|-ax5aC. x|x-a D.x|5ax0; 方程(x-5a)(x+a)的两根为 且2a+10,a-, 5a-a 原不等式的解集为x|x-a。故选C.【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型二 含参数的一元二次不等式的解法】【变式2】求不等式12x2axa2(aR)的解集【答案】当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；当a0时，不等式的解集为.【变式3】（2015秋 太原校级期中）已知集合A=xx22ax8a20。（1）当a=1时，求集合；（2）若a0，且，求实数a的取值范围。【答案】（1）当a=1时，x22ax8a20化为x22x80，解得：2x4。A=x2x4。；（2）由x22ax8a20，且a0，得2ax4a。A=x2ax4a。由，得，解得。实数a的取值范围是。例3解关于x的不等式：ax2(a+1)x+10.【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】若a=0，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或x1；若a0，原不等式，其解的情况应由与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式；（2）当a1时，原不等式；（3）当0a1时，原不等式综上所述：当a0，解集为；当a=0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a=1时，解集为；当a1时，解集为.【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【答案】当a=0时，x(-,2. 当a0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为当a0时，若， 即时，；若， 即时，xR； 若， 即时，.当a0时，则有：， .【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10时，则0，.a0时，若a0，0， 即a-1时，xR；若a0，=0， 即a=-1时，xR且x1；若a0， 即 -1a0时， .类型三：一元二次不等式的逆向运用例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.【思路点拨】由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得. 【解析】由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，化为，即，解得，故不等式的解集为.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】（2015 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)0(aR)的解集为x|-1x1,则a的值是（ ） A.-2 B.-1 C.0 D.1【答案】关于x的不等式(ax-1)(x+1)0(aR)的解集为x|-1x0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【解析】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为30, 对一切实数x成立，符合题意.若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以， 即， 1m19. 综上所述，实数m的取值范围是m|1m19. 【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.举一反三：【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.【答案】关于的不等式的解集为空集即的解集为R当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【高