高考数学必修知识讲解正弦函数、余弦函数的图象提高

正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象【要点梳理】要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法 1描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法2几何法利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象3五点法先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到要点二：正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到【典型例题】类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象例1作出下列函数在2，2上的图象（1）；（2）【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在0，2上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x2，2的图象即可【解析】（1）描点、作图 x011 其图象如下图所示 （2）函数y=|cos x|，x2，2的图象可采用将函数y=cos x，x2，2的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示 【总结升华】作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了举一反三：【变式1】用五点法作出下列函数的图象（1），；（2），【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、（2，2）（2）取上五个关键的点【解析】（1）找出五点，列表如下：x001010y=2u21232描点作图（如下图） （2）找出五点，列表如下：0xy=cos u10101描点作图（如下图） 【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的类型二：利用图象变换作出函数的图象例2（1）作函数的图象；（2）作函数的图象【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象（2）函数的定义域为，因此作出函数的图象后，要把（kZ）对应的点去掉【解析】 （1）将化为，其图象如下图 （2）当，即（kZ）时，有，即（，kZ）其图象如下图 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称举一反三：【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：【解析】先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图 类型三：利用函数图象解简单的三角不等式例3根据正弦曲线求满足的x的范围【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图 观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的因为正弦函数的周期是2，所以满足的x的范围是【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是0，2或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是0，2或，（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解举一反三：【变式1】（2016 河南南阳月考）（1）已知函数y=3cosx，求单调区间、最值及取得最值条件（2）已知，求的范围【思路点拨】（1）画出y=3cosx，的图象，由图象直接写出答案（2）直接根据正弦函数的图象和性质，得到的范围【解析】（1）画出y=3cosx，的图象，如图所示， 由图象可知单调增区间为，单调减区间为（0，）时，当x=0时，有最大值，最大值为3，当x=时，有最小值，最小值为3；（2），或，kZ，的范围为类型四：三角函数图象的应用例4（1）方程的解的个数为（ ）A0 B1 C2 D3（2）（2015 四川广安模拟）已知函数，x0，2，作出函数的图象；讨论直线y=k与函数的交点个数，并求此时的k的取值范围【解析】（1）作出与的图象，当时，当时，与再无交点如图所示，由图知有三个交点，方程有三个解（2）的图象如图， 由图象可知：当k0或k3时，直线y=k与函数有0个交点；当k=3时，直线y=k与函数有1个交点；当3k1时，直线y=k与函数有2个交点；当k=0或k=1时，直线y=k与函数有3个交点；当1k0时，直线y=k与函数有4个交点【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会举一反三：【变式1】画出图象，判断在0，2内使sin xcos x成立的x的取值范