高考数学选修知识讲解 数学归纳法（提高）

数学归纳法 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1理解数学归纳法的原理及适用范围掌握数学归纳法证题的思路和特点。 2能够利用数学归纳法证明与正整数有关的命题。【要点梳理】知识点一、数学归纳法的原理1. 数学归纳法定义:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立.2. 数学归纳法的原理：数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。它的证明共分两步： 证明了第一步，就获得了递推的基础。但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立； 证明了第二步，就获得了递推的依据。但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。3.数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题。但是，并不能简单地说所有与正整数有关的数学命题都可使用数学归纳法证明。知识点二、运用数学归纳法的步骤与技巧1 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确2用数学归纳法证题的注意事项（1）弄错起始n0n0不一定恒为1，也可能n0=2或3（即起点问题） （2）对项数估算错误特别是当寻找n=k与n=k+1的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题） （3）没有利用归纳假设归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题） （4）关键步骤含糊不清“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）3. 用数学归纳法证题的关键： 运用数学归纳法由n=k到n=k+l的证明是证明的难点，突破难点的关键是掌握由n=k到n=k+1的推证方法在运用归纳假设时，应分析由n=k到n=k+1的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，或从n=k+1时分离出n=k时的式子，再进行局部调整；也可以考虑二者的结合点，以便顺利过渡知识点三、用数学归纳法证题的类型：1.用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式；对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性2.用数学归纳法证明与正整数有关的整除性问题；用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。3.用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题；数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何、解析几何等知识相结合来考查，对于此类问题解决的关键往往在于抓住对问题的所划分标准，例如在平面几何中要抓住线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等4.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.用数学归纳法证明一些与n有关的不等式时，推导“nk1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等5.用数学归纳法证明与数列有关的命题.由有限个特殊事例进行归纳、猜想、，从而得出一般性的结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法在研究与正整数有关的数学命题中，此思想方法尤其重要【典型例题】类型一、对数学归纳法的两个步骤的认识 例1. 对一切nN*，试比较2n与n2的大小【思路点拨】在证明与正整数有关的命题时，主要侧重考查“起点”是否为1这个易误点。【解析】 当n=1时，2112，即2nn2； 当n=2时，22=22，即2n=n2； 当n=3时，2332，即2nn2； 当n=4时，24=42，即2n=n2； 当n=5时，2552，即2nn2；当n=6时，2662，即2nn2； 猜想：当n5，2nn2下面用数学归纳法证明猜想成立 （1）当n=5时，由上可知猜想成立 （2）假设当n=k（k5）时，命题成立，即2nn2那么当n=k+1时，2k+1=22k2k2=k2+k2k2+(2k+1)=(k+1)2，即当n=k+1时，猜想成立 根据（1）、（2）可知，当n5时，2nn2都成立 所以n=2或4时，2n=n2；n=3时，2nn2；n=1或n5时，2nn2【总结升华】本例是先用归纳推理设出猜想，再用数学归纳法证明猜想在用数学归纳法证明时，要注意2n与n2的大小关系只有在n5时才稳定下来，故起点n=5另一个易错点在假设n=k时要带上限制条件k5举一反三：【变式】利用数学归纳法证明：“凸多边形的对角线的条数是”时，n的第一个取值n0应当是_【答案】3【高清课堂：数学归纳法401473 例题3】 例2.用数学归纳法证明等式：【思路点拨】本题是一个与正整数n（取无限多个值）有关的数学命题，故可考虑用数学归纳法进行证明.【解析】 (1)当时，1=123，结论成立.(2)假设时结论成立，即当时，则 说明当时结论也成立.综合上述，可知结论对一切都成立. 【总结升华】 在利用归纳假设论证n=k+1时等式也成立时，应注意分析n=k和n=k+1时两个等式的差别。 举一反三：【变式1】 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立【答案】因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选B【高清课堂：数学归纳法401473 例题1（2）】【变式2】用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）A2k1 B2k1 C2k D2k+1【答案】C。左边的特点：分母逐渐增加1，末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，应增加的项数为2k【变式3】（2016 汕头模拟改编）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+n）=13（2n1）（nN*）【答案】（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=211=2，等式成立 （2）假设n=k时，（k+1）（k+2）（k+k）=2k13（2n1）成立则当n=k+1时，左边= 所以当n=k+1时等式成立 根据（1）、（2）可知，等式对任意的nN*都成立类型二、利用数学归纳法证明等式 例3用数学归纳法证明： 当n2，nN*时，【解析】（1）当n=2时，左边，右边， n=2时等式成立 （2）假设当n=k（n2，nN*）时等式成立，即那么当n=k+1时， 当n=k+1时，等式也成立 根据（1）和（2）知，对任意n2，nN*等式都成立【总结升华】数学归纳法常常用来证明与非零自然数有关的命题；在证明过程中，应用归纳假设，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性；用数学归纳法证明时，要注意从时的情形到时的情形是怎样过渡的，即要证明时等式成立，应如何利用时等式成立这一假设.显然，分清等式两边的构成情况是解决这一问题的关键； 举一反三：【变式】用数学归纳法证明：12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2 = -n(2n+1)( )【答案】(1)当n=1时，左12223，右-1(21+1)=-3，命题成立.(2)假设n=k()时命题成立即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)则当n=k+1时，左边 12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2-(2k2+5k+3) -(k+1)(2k+3) -(k+1)2(k+1)+1 当n=k+1时命题成立. 综上由(1)(2)命题对都成立.例4. 对任意正偶数n，求证： 【思路点拨】注意由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 【解析】（1）当n=2时，等式左边， 等式右边， 左边=右边，等式成立（2）假设n=2k（kN*）时等式成立，即成立当n=2k+2（kN*）时， 对n=2k+2（nN*）等式成立 由（1）、（2）知，对一切正偶数n=2k（kN*）等式成立 【总结升华】 （1）此题为用数学归纳法证明问题的一种新题型，传统问题都是论证对连续的正整数成立，而这里变成对连续的正偶数成立归纳假设为n=2k，与它连续的是n=2k+2，相当于由n=k到n=k+1，应注意体会数学归纳法的这种变形使用，并把它用活（2）本题亦可假设n=k（k为正偶数）时等式成立，证明n=k+2时等式成立举一反三：【变式】用数学归纳法证明：对任意的nN*,1-+-+-=+.【答案】 （1）当n=1时，左边=1-=右边，等式成立.（2）假设当n=k(k1,kN*)时，等式成立，即1-+-+-=+.则当n=k+1时,1-+-+-+-=+-=+(-)=+,即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的nN*等式成立.类型三、用数学归纳法证明不等式例5.用数学归纳法证明不等式： 【解析】当n=1时，左式，右式， 左式右式，所以结论成立 假设n=k时结论成立， 即，则当n=k+1时， 要证当n=k+1时结论成立， 只需证，即证 由均值不等式知，成立， 故成立， 所以，当n=k+l时，结论成立 由可知，对任意的nN*，不等式成立【总结升华】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（3）由k推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法、放缩法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面举一反三：【高清课堂：数学归纳法401473 例题4】【变式1】用数学归纳法证明不等式【答案】（1）当n=1时，左=，右=2，不等式成立（2）假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时， 不等式也成立综合（1）（2），等式对所有正整数都成立【变式2】已知，求证：n1时，.【答案】（1) n=2时，左式=, 右式=， 左式右式，不等式成立，n=3时，左式=, 右式=， 左式-右式=，左式右式，不等式成立.（2)假设n=k(, k3)时不等式成立，即，当n=k+1时，即n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，n1, nN时，都有.【变式3】设数列an满足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，）.证明an对一切正整数n都成立；【答案】证法一：当n=1时，a1=2，不等式成立.假设n=k时，ak成立，当n=k+1时，ak+12=ak2+22k+3+2（k+1）+1，当n=k+1时，ak+1成立.综上，由数学归纳法可知，an对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2=结论成立.假设n=k时结论成立，即ak，当n=k+1时，由函数f（x）=x+（x1）的单调递增性和归纳假设有ak+1=ak+ =.当n=k+1时，结论成立.因此，an对一切正整数n均成立.类型三：用数学归纳法证明与数列有关的命题例6. 已知数列中，.()求的值；()推测数列的通项公式，并证明.【思路点拨】观察、归纳、猜想、证明，是经常应用的综合性数学方法；观察是解决问题的前提条件，合理的实验和归纳，提出合理的猜想，然后证明.【解析】 ()， ， ，即+， ，即+， ，()猜想.证明如下：（1）当时，结论成立.假设时成立，即.即 由得=，说明当时，结论也成立.综合上述，可知对一切nN，都有【总结升华】用数学归纳法证明与递推关系有关的命题时依归纳假设证明时命题也成立时，除了用上假设外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用.这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方.举一反三：【变式1】在数列an中,a1=1,Sn是它的前n项和,当n2时,(1)求的值,并推测an的通项公式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.【答案】（1）S2=a1a2=1a2, 2(1a2)2=2a2(1a2)a2,解得.这时S2=,S3=S2a3=a3,2(a3)2=2a3(a3)a3,解得 .这时S3=,S4=S3a4=a4,2(a4)2=2a4(a4)a4,解得.由,，猜想：n2时,数列an的通项公式是下面用数学归纳法证明：1)当n=1，n=2时结论成立.2)假设当n=k(k2)时结论成立,即,这时Sk=a1a2ak=, 当n=k1时,由得得, ,n=k1时结论成立.由1)、2)可知对nN时结论都成立.类型四：用数学归纳法证明整除性问题例7. 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意自然数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.【思路点拨】，证明一个多项式或指数幂形式能被某数或某式子整除，也属于与正整数n有关的命题常用数学归纳法【解析】由f（n）=（2n+7）3n+9，得f（1）=36， f（2）=336， f（3）=1036， f（4）=3436，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）3k+9能被36整除;当n=k+1时，2（k+1）+73k+1+9=3（2k+7）3k+9+18（3k11），由于3k11是2的倍数，故18（3k11）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）3n+9能被36整除，m的最大值为36.【总结升华】用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除.举一反三：【变式1】（2015春 淮安校级期末）当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k1时命题为真，进而需验证_，命题为真。解：当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除【答案】当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k1时命题为真，进而需要验证n=2k+1。故答案为2k+1。【变式2】用数学归纳法证明(nN)能被14整除.【答案】(1)当n=0时，能被14整除 命题成立(2) 假设n=k（k0）时命题成立，即（k0）能被14整除 则当n=k+1时， 能被14整除，56能被14整除 能被14整除即当n=k+1时命题也成立，综上由(1)(2)得，命题对nN成立.类型五：用数学归纳法证明几何问题例8.用数学归纳法证明：凸n边形的对角线的条数是n(n3)（n3，nN*）【解析】（1）当n=3时，n(n3)=0，这就是说，三角形没有对角