高考物理总复习知识讲解 万有引力定律在天体运动中的应用（提高）

物理总复习：万有引力定律在天体运动中的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、掌握万有引力定律并能应用； 2、理解三种宇宙速度及其区别。【考点梳理】考点一、应用万有引力定律分析天体的运动1、基本方法把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供公式为 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2、黄金代换式要点诠释：在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。在应用万有引力定律分析天体运动问题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，我们便可以应用变换式来分析讨论天体的运动。如分析第一宇宙速度：, ，,代入后得 。考点二、宇宙航行 人造卫星1、宇宙速度（1）第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，又称环绕速度。（R为地球半径），所以，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度。（2）第二宇宙速度（脱离速度）：=11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：=16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 2、近地卫星要点诠释：近地卫星其轨道半径近似地等于地球半径R，其运动是所有卫星的最大绕行速度；运行周期T=85 min，是所有卫星的最小周期；向心加速度是所有卫星的最大加速度。 3、地球同步卫星地球同步卫星，是指位于赤道平面内相对于地面静止的，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的人造地球卫星，因为同步卫星主要用于通信等方面，故同步卫星又叫通信卫星。要点诠释：同步卫星具有以下特点：周期一定：即T=24 h。角速度一定：角速度等于地球自转的角速度。轨道一定：同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行,在赤道上空。由得 （T为地球自转周期，M、R为地球质量、半径）代入数值得。即：同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为 。环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是 。向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为。由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件： a.卫星运动周期和地球自转相同（T=24 h=s），运动方向相同。b.卫星的运行轨道在地球的赤道平面内。c.卫星距地面高度有确定值（）。同步卫星发射：变轨道发射发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射（如图）。首先，利用第一级火箭将卫星送到180 km200 km的高空，然后依靠惯性进入停泊轨道（A）。当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35 800 km。当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道（C）。这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。运行时，所具有的机械能越大，把卫星发射到离地球越远的轨道，在地面应具有的初动能越大，即发射速度越大。例、关于人造地球卫星和第一宇宙速度，下列说法正确的是：（ ）第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度第一宇宙速度是发射人造卫星所需的最小速度卫星离地面越高，运动速度越大，周期越小同一轨道上的人造卫星，质量越大，向心加速度越大A B C D【答案】A【解析】第一宇宙速度是所有地球卫星的最大绕行速度，是最小发射速度，卫星离地面越高，运动速度越小，周期越大，同一轨道上的卫星其向心加速度与卫星质量无关。综上所述只有A项正确。【典型例题】类型一、比较分析卫星运行的轨道参量问题（1）卫星（或行星）运行时做匀速圆周运动要牢记，万有引力提供向心力这一基本关系。由 根据题目已知条件灵活选用一种表达式，要注意、只与有关。同一轨道上的卫星、大小是相同的，不同轨道上的卫星可列比例式分析计算。（2）人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：（1）由得，所以越大，越小；（2）由得，所以越大，越小；（3）由得，所以越大，T越大。（4）向心加速度： 当卫星距地球表面高度为时，轨道半径 ，近地卫星：轨道半径等于地球半径（对其它行星也适用）。常用式：黄金代换 例1、（2015 广东卷）在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10:1，半径比约为2:1，下列说法正确的有（ ）A. 探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B. 探测器在地球表面受到的引力比火星表面大C. 探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D. 探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大【答案】BD【解析】设星球的质量为M，探测器的质量为m。则当探测器绕星球表面做圆周运动时有 R是星球半径，可见,。探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关： A、C皆错；由有： 故B正确；探测器脱离星球的过程中星球对探测器的万有引力做负功，故其势能增大，D正确。举一反三【变式1】现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为和。如果，则 ( )A. 卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大 B. 卫星A的线速度比卫星B的线速度大 C. 卫星A的角速度比卫星B的角速度大 D. 卫星A的加速度比卫星B的加速度大【答案】BCD【解析】由得， 轨道半径 r越大，T越大。A错。由得 轨道半径越大，线速度越小，B对。由得，所以轨道半径r越大，越小；C对。由 得 ， 所以轨道半径r越大，加速度越小，D对。所以正确选项为：BCD【变式2】如图，、b、c是在地球大气层外圆轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）Ab、c的线速度大小相等，且大于的线速度Bb、c的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度Cc加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大【答案】 D【变式3】地球同步卫星到地心的距离r可由求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 （ ） Aa是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度 Ba是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度 Ca是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度Da是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度【答案】AD【解析】由 和黄金代换 解得 根据a、b、c的单位可以分析出BC错误，AD正确。类型二、与卫星相关的两个运动模型 (在地面上的圆周运动和在空中的圆周运动)例2、地球同步卫星离地心距离为，运行速率为，加速度为，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球的半径为R，则（ ） A. B C D【答案】 BD【解析】两者圆周运动的角速度相同，根据，C错，B对。对于同步卫星和以第一宇宙速度运行的卫星都有 所以 A错D对。举一反三【变式】一卫星绕某行星做匀速圆周运动已知行星表面的重力加速度为，行星的质量M与卫星的质量之比，行星的半径与卫星的半径之比，行星与卫星之间的距离与行星的半径之比。设卫星表面的重力加速度为 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一。上述结果是否正确?若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。【答案】错误的。【解析】所得的结果是错误的。 式中并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确解法是：卫星表面： 行星表面： 所以 类型三、宇宙飞船的发射、运行问题（变轨问题）变轨问题：卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由，得，由此可知，轨道半径r越大，卫星的线速度越小，当卫星由于某种原因速度突然改变时，受到的万有引力和需要的向心力不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做功，因而速度越来越大。反之，当时，卫星做离心运动，其半径r越来越大，速度越来越小。 如发射“嫦娥一号”时，到达P点要“制动” 或者说“刹车”，就是减速，要向前喷气，减小轨道半径，卫星做近心运动，使其绕月球运行。反之，如果要返回地球，就要加速，向后喷气。例3、发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道（远地点B在同步轨道上），如图所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求： （1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小； （2）卫星同步轨道距地面的高度。【答案】（1） （2）【解析】（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G、卫星在近地圆轨道运动接近A点时的加速度为，根据牛顿第二定律 物体在地球表面上受到的万有引力等于重力 解得 （2）设同步轨道距地面高度为h2，根据牛顿第二定律有： 由上式解得：【总结升华】 求向心加速度仍然是 。求同步卫星的高度要用到黄金代换表达式。举一反三【高清课堂：万有引力在天体运动中的应用例5】【变式1】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度 D卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度。12P3Q【答案】BD 【变式2】 “天宫一号”与“神舟八号”交会对接成功，标志着我国在对接技术上迈出了重要一步。用M代表“神舟八号”，N代表“天宫一号”，它们对接前做圆周运动的情形如图所示，则( )A. M的发射速度大于第二宇宙速度B. M适度加速有可能与 N实现对接C. 对接前，M的运行速度小于N的运行速度D. 对接后，它们的运行速度大于第一宇宙速度【答案】B【解析】第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，最大运行（环绕）速度，A、D都错。 “神舟八号”开始轨道低，轨道半径小，线速度大，经过一定时间就会“追上”（不是真正追上）“天宫一号”（此时不在同一轨道，不能对接）, 此时点火加速，产生离心现象，“神舟八号”轨道就会变大，控制技术到位的话，就与“天宫一号”在同一轨道上了，速度相同，这样就可以实现对接。C错D对。类型四、被遮拦的时间问题、相距最近最远问题例4、某颗地球同步卫星正下方的地球表面有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问：春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。【答案】 【解析】设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离。有 春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。 由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有 利用黄金代换 由以上各式可解得 【总结升华】 解题的关键是根据题意作出平面图形，利用几何关系，“看不见”的时间表达式，看似简单，要会用，在磁场中也用到此式。此外解代数方程也要熟练。举一反三【变式】晴天的晚上，人能看到人造卫星的条件是：卫星直接被太阳照亮，且在人所在地理位置的视野内。现有一个可看成漫反射体的人造卫星，其圆形轨道与地球的赤道共面。卫星自西向东运行，在春分期间，太阳光垂直射向赤道，位于赤道上的某位观察者，在当地日落之后8小时时刻，在该位置西边的地平线附近恰好能看到这颗卫星，之后又极快地变暗消失了。已知地球半径为R = 6.4106m，地球表面的重力加速度取g = 10m/s2，试估算：(1)卫星轨道离地面的高度h(2)卫星的线速度的大小v(结果保留2位有效数字)【答案】（1）h=R；（2）【解析】 从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高h，Q点日落后8h时能看到它反射的阳光，日落8h，Q点转过的角度设为。 （1） 轨道高度 （2）因为卫星轨道半径 根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比，卫星轨道处的重力加速度 （2）或者：轨道半径 根据万有引力定律，黄金代换 解得 例5、（2015 安徽卷）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求： （1）A星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T。【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】（1）A星体受B、C两星体的引力