高考物理总复习知识讲解 万有引力定律在天体运行中的应用（基础）

物理总复习：万有引力定律在天体运动中的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、掌握万有引力定律并能应用； 2、理解三种宇宙速度及其区别。【考点梳理】考点一、应用万有引力定律分析天体的运动1、基本方法把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供公式为 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。2、黄金代换式 要点诠释：在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。在应用万有引力定律分析天体运动问题时，常把天体的运动近似看成是做匀速圆周运动，其所需要的向心力由万有引力提供，我们便可以应用变换式来分析讨论天体的运动。如分析第一宇宙速度：, ，,代入后得 。考点二、宇宙航行 人造卫星1、宇宙速度（1）第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，又称环绕速度。（R为地球半径），所以，是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度。（2）第二宇宙速度（脱离速度）：=11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：=16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 2、近地卫星要点诠释：近地卫星其轨道半径近似地等于地球半径R，其运动是所有卫星的最大绕行速度；运行周期T=85 min，是所有卫星的最小周期；向心加速度是所有卫星的最大加速度。 3、地球同步卫星地球同步卫星，是指位于赤道平面内相对于地面静止的，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的人造地球卫星，因为同步卫星主要用于通信等方面，故同步卫星又叫通信卫星。要点诠释：同步卫星具有以下特点：周期一定：即T=24 h。角速度一定：角速度等于地球自转的角速度。轨道一定：同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行,在赤道上空。由得 （T为地球自转周期，M、R为地球质量、半径）代入数值得。即：同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为 。环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是 。向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为。由此可知要发射同步卫星必须同时满足三个条件：.卫星运动周期和地球自转相同（T=24 h=s），运动方向相同。b.卫星的运行轨道在地球的赤道平面内。c.卫星距地面高度有确定值（）。同步卫星发射：变轨道发射发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射（如图）。首先，利用第一级火箭将卫星送到180 km200 km的高空，然后依靠惯性进入停泊轨道（A）。当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35 800 km。当到达远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道（C）。这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。运行时，所具有的机械能越大，把卫星发射到离地球越远的轨道，在地面应具有的初动能越大，即发射速度越大。例、关于人造地球卫星和第一宇宙速度，下列说法正确的是：（ ）第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度第一宇宙速度是发射人造卫星所需的最小速度卫星离地面越高，运动速度越大，周期越小同一轨道上的人造卫星，质量越大，向心加速度越大A B C D【答案】A【解析】第一宇宙速度是所有地球卫星的最大绕行速度，是最小发射速度，卫星离地面越高，运动速度越小，周期越大，同一轨道上的卫星其向心加速度与卫星质量无关。综上所述只有A项正确。【典型例题】类型一、比较分析卫星运行的轨道参量问题（1）卫星（或行星）运行时做匀速圆周运动要牢记，万有引力提供向心力这一基本关系。由 根据题目已知条件灵活选用一种表达式，要注意、只与有关。同一轨道上的卫星、大小是相同的，不同轨道上的卫星可列比例式分析计算。（2）人造卫星的绕行速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系：（1）由得，所以越大，越小；（2）由得，所以越大，越小；（3）由得，所以越大，T越大。（4）向心加速度： 当卫星距地球表面高度为时，轨道半径 ，近地卫星：轨道半径等于地球半径（对其它行星也适用）。常用式：黄金代换 例1、（2015 重庆卷）宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为，距地面高度为，地球质量为，半径为，引力常量为，则飞船所在处的重力加速度大小为A. 0 B. C. D. 【答案】B【解析】对飞船受力分析知，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即，可得飞船的重力加速度为，故选B。举一反三【变式1】现有两颗绕地球匀速圆周运动的人造地球卫星A和B，它们的轨道半径分别为和。如果，则 ( )A. 卫星A的运动周期比卫星B的运动周期大 B. 卫星A的线速度比卫星B的线速度大 C. 卫星A的角速度比卫星B的角速度大 D. 卫星A的加速度比卫星B的加速度大【答案】BCD【解析】由得， 轨道半径 r越大，T越大。A错。由得 轨道半径越大，线速度越小，B对。由得，所以轨道半径r越大，越小；C对。由 得 ， 所以轨道半径r越大，加速度越小，D对。所以正确选项为：BCD【变式2】如图，、b、c是在地球大气层外圆轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）Ab、c的线速度大小相等，且大于的线速度Bb、c的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度Cc加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的cD卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大【答案】 D【变式3】地球同步卫星到地心的距离r可由求出。已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则 （ ） Aa是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度 Ba是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度 Ca是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度Da是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度【答案】AD【解析】由 和黄金代换 解得 根据a、b、c的单位可以分析出BC错误，AD正确。类型二、与卫星相关的两个运动模型 (在地面上的圆周运动和在空中的圆周运动)例2、地球同步卫星离地心距离为，运行速率为，加速度为，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球的半径为R，则（ ） A. B C D【答案】 BD【解析】两者圆周运动的角速度相同，根据，C错，B对。对于同步卫星和以第一宇宙速度运行的卫星都有 所以 A错D对。举一反三【变式1】不久前欧洲天文学就发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c”。该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍。设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能为Ek1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为Ek2，则为（ ）A0.13 B0.3 C3.33 D7.5 【答案】C【解析】动能，卫星质量相同，只需求出速度就可以了。已知在地球表面附近的动能，在地球表面附近的速度就是第一宇宙速度，, 在行星表面的速度 ，还得求行星表面的。由知 ，所以动能之比，C正确。【变式2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动已知行星表面的重力加速度为，行星的质量M与卫星的质量之比，行星的半径与卫星的半径之比，行星与卫星之间的距离与行星的半径之比。设卫星表面的重力加速度为 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一。上述结果是否正确?若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。【答案】错误的。【解析】所得的结果是错误的。 式中并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。正确解法是：卫星表面： 行星表面： 所以 类型三、宇宙飞船的发射、运行问题（变轨问题）变轨问题：卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由，得，由此可知，轨道半径r越大，卫星的线速度越小，当卫星由于某种原因速度突然改变时，受到的万有引力和需要的向心力不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做功，因而速度越来越大。反之，当时，卫星做离心运动，其半径r越来越大，速度越来越小。 如发射“嫦娥一号”时，到达P点要“制动” 或者说“刹车”，就是减速，要向前喷气，减小轨道半径，卫星做近心运动，使其绕月球运行。反之，如果要返回地球，就要加速，向后喷气。举一反三【高清课堂：万有引力在天体运动中的应用例5】例3、12P3Q发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度 D卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度。【答案】BD 【解析】轨道半径越大，线速度越小，角速度越小，1的轨道半径最小，线速度最大，3的轨道半径最大，线速度最小，A错B对。卫星在轨道1上Q点与在轨道2上Q点是同一点，到地心的距离相等，即轨道半径相等，它们的加速度相等，C错。同理，D对。举一反三【变式1】（2015 全国卷）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为A. 西偏北方向，1.9103m/s B. 东偏南方向，1.9103m/sC. 西偏北方向，2.7103m/s D. 东偏南方向，2.7103m/s【答案】B【解析】同步卫星的速度v方向为正东方向，设卫星在转移轨道的速度为v1，附加速度为v2，由速度的合成可知v2的方向为东偏南方向，其大小为，故B选项正确。如图： 【变式2】如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( ) A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力【答案】C【变式3】“天宫一号”与“神舟八号”交会对接成功，标志着我国在对接技术上迈出了重要一步。用M代表“神舟八号”，N代表“天宫一号”，它们对接前做圆周运动的情形如图所示，则( )A. M的发射速度大于第二宇宙速度B. M适度加速有可能与 N实现对接C. 对接前，M的运行速度小于N的运行速度D. 对接后，它们的运行速度大于第一宇宙速度【答案】B【解析】第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，最大运行（环绕）速度，A、D都错。 “神舟八号”开始轨道低，轨道半径小，线速度大，经过一定时间就会“追上”（不是真正追上）“天宫一号”（此时不在同一轨道，不能对接）, 此时点火加速，产生离心现象，“神舟八号”轨道就会变大，控制技术到位的话，就与“天宫一号”在同一轨道上了，速度相同，这样就可以实现对接。C错D对。类型四、关于“双星系统”的规律分析【高清课堂：万有引力在天体运动中的应用例6】例5、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）【答案】 【解析】 双星系统：角速度相等、周期相等、万有引力相等设1星的质量为，绕圆心运动的轨道