高考物理总复习知识讲解 带电粒子在磁场中的运动（提高）

物理总复习：带电粒子在磁场中的运动 编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、知道洛伦兹力的特点，会计算其大小并用左手定则确定其方向； 2、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径周期公式，知道常见的分析方法；3、知道带电粒子在有界磁场中运动的多解情况、临界值与极值问题的处理方法，会熟练求解相关问题。【考点梳理】考点、带电粒子在磁场中的运动 两类典型的综合问题要点诠释：1、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，注意下列结论，再借助数学方法分析（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。（3）当速率v变化时，圆周角越大的，运动时间越长。2、带电粒子在磁场中的运动的多解问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面（1）带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。（2）磁场方向不确定形成多解有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。（3）临界状态不唯一形成多解带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是形成了多解。（4）运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。【典型例题】类型一、带电粒子在磁场中的运动的基础知识例1、（2015 广东卷）在同一匀强磁场中，粒子和质子做匀速圆周运动，若它们的动量大小相等，则粒子和质子（ ） A、运动半径之比是2:1 B、运动周期之比是2:1 C、运动速度大小之比是4:1 D、受到的洛伦兹力之比是2:1 【答案】B【解析】粒子和质子质量之比为4:1，电荷量之比为2:1，由于动量相同，故速度之比为1:4 ，同一磁场，B相同。由r=mv/qB，得两者半径之比为1:2。由T=2m/qB，得周期之比为2:1。由f洛=qvB，得洛伦兹力之比为1:2 ，B正确。举一反三【高清课堂：磁场对运动电荷的作用 例 4】【变式1】电子（e，m）从A点沿AB方向进入磁场，它恰能从C点出射.（1）求电子的速度；（2）求电子在场中运动的时间。设磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，AD = aAB=2a.【答案】（1）（2）。【变式2】如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场区域的对称轴OO与SS垂直。a、b、c三个质子先后从S点沿垂直于磁场的方向摄入磁场，它们的速度大小相等，b的速度方向与SS垂直，a、c的速度方向与b的速度方向间的夹角分别为，且。三个质子经过附加磁场区域后能达到同一点S，则下列说法中正确的有 （ ）A三个质子从S运动到S的时间相等B三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在OO轴上C若撤去附加磁场，a到达SS连线上的位置距S点最近D附加磁场方向与原磁场方向相同【答案】CD【解析】A.三个质子从S运动到S的时间不相等，A错误；B.三个质子在附加磁场以外区域运动时，只有b运动轨迹的圆心在OO轴上，因为半径相等，而圆心在初速度方向的垂线上，所以B错误；C.用作图法可知，若撤去附加电场，a到达SS连线上的位置距S点最近，b最远；C正确；D.因b要增大曲率，才能使到达SS连线上的位置向S点靠近，所以附加磁场方向与原磁场方向相同，D正确；故选CD。类型二、带电粒子在磁场中的周期性和对称性例2、图（a）所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化周期为T，变化图线如图（b）所示，当B为+B0时，磁感应强度方向指向纸外。在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于.不计重力，设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向自O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A.（1）若t0=0，则直线OA与x轴的夹角是多少？（2）若，则直线OA与x轴的夹角是多少？（3）为了使直线OA与x轴的夹角为，在的范围内，t0应取何值？【思路点拨】分析在磁场中运动的周期与交变磁场的周期的关系，根据左手定则确定偏转方向，磁场反向后如何，对复杂问题更是要画图。【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设粒子P的质量、电荷量与初速度分别为m、q与v，粒子P在洛伦兹力作用下，在xOy平面内做圆周运动，分别用R与T表示圆周的半径和运动周期，则有 由式与已知条件得 粒子P在t=0到t=时间内，沿顺时针方向运动半个圆周，到达x轴上B点，此时磁场方向反转；继而，在t=到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达x轴上A点，如图（）所示，OA与x轴的夹角 （2）粒子P在时刻开始运动，在t=到t=时间内，沿顺时针方向运动个圆周，到达C点，此时磁场方向反转；继而，在t=到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=时间内，沿顺时针方向运动个圆周，到达A点，如图（）所示，由几何关系可知，A点在y轴上，即OA与x轴的夹角 （3）若在任意时刻()粒子P开始运动，在到t=时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达C点，圆心O位于x轴上，圆弧对应的圆心角为 此时磁场方向反转；继而，在t=到t=T时间内，沿逆时针方向运动半个圆周，到达B点，此时磁场方向再次反转；在t=T到t=时间内，沿顺时针方向做圆周运动到达A点，设圆O，圆弧对应的圆心角为 如图(c)所示，由几何关系可知，C、B均在连线上，且OA/ 若要OA与x轴成角，则有 ，联立式可得 【总结升华】根据交变磁场的变化规律，正确画出轨迹图是解题的关键。举一反三【变式】如图所示是某装置的垂直截面图，虚线A1A2是垂直截面与磁场区边界面的交线，匀强磁场分布在A1A2的右侧区域，磁感应强度B=0.4T，方向垂直纸面向外，A1A2与垂直截面上的水平线夹角为450。在A1A2左侧，固定的薄板和等大的挡板均水平放置，它们与垂直截面交线分别为S1、S2，相距L=0.2m.。在薄板上P处开一个小孔，P与A1A2线上点D的水平距离为L。在小孔处装一个电子快门。起初快门开启，一旦有带正电微粒刚通过小孔，快门立即关闭。此后每隔T=开启一次并瞬间关闭。从S1S2之间的某一位置水平发射一速度为的带电微粒，它经过磁场区域后入射到P处小孔。通过小孔的微粒与挡板发生碰撞而反弹，反弹速度大小是碰前的0.5倍。（1）经过一次反弹直接从小孔射出的微粒，其初速度应为多少？（2）求上述微粒从最初水平射入磁场到第二次离开磁场的时间。（忽略微粒所受重力影响，碰撞过程无电荷转移。已知微粒的荷质比。只考虑纸面上带电微粒的运动。） 【答案】（1）v0=100m/s （2）【解析】（1）如图所示，设带正电微粒在S1S2之间任意点Q以水平速度v0进入磁场，微粒受到的洛仑兹力为f，在磁场中做圆周运动的半径为r，有：f=qv0B 由得：欲使微粒能进入小孔，半径r的取值范围为： 代入数据得：80m/sv0160m/s欲使进入小孔的微粒与挡板一次相碰返回后能通过小孔，还必须满足条件： 其中n=1,2,3, 由可知，只有n=2满足条件，即有：v0=100m/s （2）设微粒在磁场中做圆周运动的周期为T0，从水平进入磁场到第二次离开磁场的总时间为t，设t1、t4分别为带电微粒第一次、第二次在磁场中运动的时间，第一次离开磁场运动到挡板的时间为t2，碰撞后再返回磁场的时间为t3，运动轨迹如图所示，则有： （弦切角=45，圆心角=90）(s) 类型三、带电粒子在磁场中运动的多解问题例3、如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。折线的顶角A90，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。求：（1）若在P、Q间加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应满足什么条件？（3）求第（2）问中微粒从P点到达Q点所用的时间。【思路点拨】（2）根据运动的对称性，分析出微粒能从P点到达Q点，应满足条件。画出草图，确定参数，圆心角、半径等，最后求出速度。【答案】见解析。【解析】（1）由电场力与洛伦兹力平衡 ,得（2）根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或。设圆弧的半径为R，则有，可得又，由以上各式得。（3）如图所示，当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为 ，其中当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为，其中【总结升华】解题的关键仍然是要画出轨迹图，要多练多想，熟能生巧，同时还要考虑奇数次到达、偶数次到达，情况不一样，就是多解问题了。举一反三【变式1】如图所示，平行金属板M、N间距离为d其上有一内壁光滑的半径为R的绝缘圆筒与N板相切，切点处有一小孔S圆筒内有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为B电子与孔S及圆心O在同一直线上M板内侧中点处有一质量为m，电荷量为e的静止电子，经过M、N间电压为U的电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出发点（不考虑重力，设碰撞过程中无动能损失）求：电子到达小孔S时的速度大小；电子第一次到达S所需要的时间；电子第一次返回出发点所需的时间【答案】 （n=1，2，3，）【解析】设加速后获得的速度为v ，根据， 设电子从M到N所需时间为t1，电子在MN间的加速度 则 ，得 电子在磁场做圆周运动的周期为 电子在圆筒内经过n次碰撞回到S，每段圆弧对应的圆心角，如图。n次碰撞对应的总圆心角在磁场内运动的时间为 （n=1，2，3，）【变式2】一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad夹角为30，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及粒子在磁场中运动时间t的范围。【解析】（1）由图中几何关系可知：，根据，则（2）当v0最大时： 得R1=L，则当v0最小值： 得则所以v0的取值范围为带电粒子从ab边射出磁场，当速度为时，运动时间最短， 速度为时运动时间最长： 粒子运动时间t的范围 类型四、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题例4、图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.010-3T，在y轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q，不计其重力。（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。【思路点拨】理解“运动轨迹半径恰好最小”的意思是以两点连线作为直径，运动轨迹半径最小，画出轨迹图。理解“使其沿y轴正方向做匀速直线运动”的意思。理解“矩形磁场区域的最小面积”的意思。【答案】（1）=4.9C/kg（或5.0C/kg）；（2）；（3）【解析】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。如图，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得 联立并代入数据得 =4.9C/kg（或5.0C/kg） （2）设所加电场的场强大小为E。如图，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 代入数据得 所加电场的场强方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有 联立并代入数据得 （3）如图，所求的最小矩形是，该区域面积 联立并代入数据得 矩形如图丙中（虚线）。【总结升华】抓住关键词语“运动轨迹半径恰好最小”的意思是以两点连线作为直径，运动轨迹半径最小，画出轨迹图，这是解题的关键所在。“使其沿y轴正方向做匀速直线运动”的意思是：合力为零，沿y轴正方向运动，洛伦兹力水平向左（沿x轴负方向），要使其合力为零，就必须使电场力水平向右（沿x轴正方向），离子带正电荷，所以所加匀强电场方向为水平向右。经过多长时间加匀强电场，要求圆心角。矩形磁场区域的最小面积：两边与半圆相切。举一反三【变式】(2014 长春一模) 如图所示，在一个边长为a的正六边形区域内存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。三个相同带正电的粒子，比荷为，先后从A点沿AD方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号为的粒子恰好从F点飞出磁场区域，编号为的粒子恰好从E点飞出磁场区域，编号为的粒子从ED边上