定积分和微积分

知识点一：定积分的概念如果函数在区间上连续，用分点将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.知识点二：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数；在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.知识点三：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数在区间上是奇函数，则； 若函数在区间上是偶函数，则.知识点四：微积分基本定理微积分基本定理（或牛顿莱布尼兹公式）:如果在上连续，且，则。其中叫做的一个原函数.注意：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.由于也是的原函数，其中c为常数.知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积： 2如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线 ()围成的曲边梯形的面积： 3由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上， 在区间上）围成的图形的面积： .4. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积： 知识点六：定积分在物理中的应用变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1如何正确理解定积分的概念定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即（称为积分形式的不变性），另外定积分与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如与的值就不同。2、与的几何意义由于被积函数在闭区间a，b上可正可负，也就是它的图像可以在x轴上方，也可以x轴下方，还可以在x轴的上下两侧，所以表示由x轴，曲线及直线（ab）与轴所围成的各部分面积的代数和；而是非负的，曲线在x轴上方，所以表示在区间a，b上所有以为曲边的正曲边梯形的面积，等于曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的绝对值的和；而是的绝对值，三者的值在一般情况下是不相同的。3利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）借助图形确定出被积函数；（4）写出平面图形的定积分表达式；（5）运用公式求出平面图形的面积.类型一：利用定积分的几何定义求定积分1说明定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。 解析：设，则，表示半径为2的个圆，由定积分的概念可知，表示如图所示的以2为半径的圆的面积,所以总结升华：利用定积分的几何意义画出相应的图形解答。举一反三：【变式1】由，以及轴围成的图形的面积写成定积分是_；【答案】【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）（1） （2）【答案】（1），（2）【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。（1）；（2）； 【答案】（1）设， 则表示由直线，以及轴围成的梯形的面积， 该梯形面积为 。（2）设， 则表示由直线，以及轴围成的矩形的面积， 该矩形面积为,所以。【变式4】利用定积分的几何定义求定积分：（1）；（2）【答案】（1）设，则表示个圆， 由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积, 所以（2）设，则表示如图的曲边形， 其面积, 故.类型二：运用微积分定理求定积分2运用微积分定理求定积分（1）， （2）， （3） 思路点拨： 根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.解析：（1），；（2），；（3），.总结升华：求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。有时需要将原式化简后再求解，有时不易找到原函数，此时可以用其他方法（如：定积分的几何定义）.举一反三：【变式1】计算下列定积分的值：（1）； （2）； （3）.【答案】（1）， ；（2）， .（3）， ；【变式2】计算下列定积分的值：（1）， （2）， （3） 【答案】（1）（2）（3）类型三：运用积分的性质求定积分3求定积分：；思路点拨：对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分，根据定积分对区间的可加性，对给定的积分区间适当分成几个积分区间，计算各个积分，最后求和，得出结果.解析： ；总结升华：对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质进行化简.对于含绝对值的函数求积分，一般先把绝对值号去掉，写成分段函数，合理地确定积分区间，再进行积分.举一反三：【变式1】设是连续函数，若，则_；【答案】；【变式2】已知函数，计算.【答案】.4求定积分：；思路点拨： 利用定积分的性质求解解析：是奇函数，是偶函数，总结升华：利用被积式函数的奇偶性求积分。举一反三：【变式1】设是偶函数，若，则_；【答案】是偶函数，【变式2】求定积分：【答案】是偶函数， .类型四：利用定积分求平面图形面积5求直线与抛物线所围成的图形面积.思路点拨：画出简图，结合图形确定积分区间。解析：如图，由得交点，所求面积：.总结升华：求平面图形的面积体现了数形结合的思想，求图形的面积的一般步骤是：（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）； （3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；（5）计算各个定积分，求出所求的面积.举一反三：【变式1】求由曲线（），围成的平面图形的面积.【答案】如图，由（）和，得交点； 法一：所求面积为矩形面积减去由曲线（）， ，围成的平面图形的面积. 故所求面积为 法二：所求面积为。【变式2】求由曲线围成的平面图形的面积.【答案】由 得； 由 得. 所求面积： 【变式3】求抛物线与直线所围成的图形的面积.【答案】解方程组得或 即交点. 由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下， 便于进行积分计算。 过点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和. .需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定.若选为积分变量，则上限、下限分别为1和3，所以要求的面积为：.类型五：利用定积分解决物理问题6汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？思路点拨：因为距离速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.解析：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当时，汽车速度公里/小时米/秒=10米/秒.刹车后汽车减速行驶，其速度为.当汽车停车时，速度，故从到用的时间秒.于是在这段时间内，汽车所走过的距离是（米）即在刹车后，汽车需走过25.总结升华：解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.举一反三：【变式1】两地相距25千米,甲以速度千米/小时从到直线行驶,同时