《解析函数》PPT课件

1,第二章解析函数,2,2.1解析函数的概念,3,一、导数与微分,1.复变函数的导数,则称在处可导，,是,的邻域内的任意一点，,如果,存在有限的极限值A，,且称A,如果函数在区域D内的每一点都可导，,在D内可导，此时即得的导(函)数,则称,4,一、导数与微分,2.复变函数的微分,则称在处可微，,的邻域内的任意一点，,若在区域D内处处可微，则称在D内可微。,如果存在A，使得,特别地，有,(考虑函数即可),导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。,5,一、导数与微分,3.可导与可微以及连续之间的关系,如果可导,可微,如果可微,可导,6,一、导数与微分,3.可导与可微以及连续之间的关系,(1)可导可微,如果可导,可微,连续,由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。,对二元实函数：,偏导数存在可微,连续,偏导数连续,7,得,(C为复常数)。,求下列函数的导数：,例,(1),(2),8,解,(2)由,得,求下列函数的导数：,例,(1),(2),9,一、导数与微分,4.求导法则,(1)四则运算法则,10,一、导数与微分,4.求导法则,(1)四则运算法则,(2)复合函数的求导法则,(3)反函数的求导法则,其中，与是两个互为反函数的单值,函数，且,11,二、解析函数,则称在点解析；,(2)如果函数在区域D内的每一点解析，,则称,奇点,12,二、解析函数,性质,(2)如果函数在z平面上的区域D内解析，,则复合函数在D内解析。,函数在平面上的区域G内解析，,且对D内的每一点z，函数的值都属于G，,13,由函数的解析性以及,又方程的根是,因此在全平面除去点的区域内，解析。,求导法则可知：,求函数,的解析区域及在该区域上的导数。,例,14,因此，仅在点可导，处处不解析。,15,解,当时，,当时，,因此，处处不可导，处处不解析。,16,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：,和在点处可微，,(简称方程),的充要条件是：,实二元函数可微的含义：,附,17,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,且,记,则必可微，即,18,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,证明,充分性“”,则,得,且,19,求导公式,三、柯西-黎曼方程,1.点可导的充要条件,则,20,三、柯西-黎曼方程,2.区域解析的充要条件,充要条件是：,满足C-R方程。,推论,在区域D内存在且连续，并满足C-R方程，,在区域D内解析。,则函数,21,可知不满足C-R方程，,有,22,有,由C-R方程，,23,由C-R方程，,处处不解析。,所以仅在直线上可导，,24,四个偏导数连续，,且满足C-R方程，,故在全平面上处处可导，,处处解析，且,注,函数,记为,本例结果表明：,25,由C-R方程可得,求解得,设函数,求常数,例,在复平面内处处解析。,的值，使,26,为常数，,设函数,内为常数。,在某区域,例,之一，证明：,在区域,内解析，且满足下列条件,内解析；,在,(1),(2),内为常数。,在,27,证,(常数)；,(2)由解析，,由在D内为常数，,(常数)，,两边分别对x,y求偏导得：,若,若,方程组(A)只有零解，,为常数，,(A),28,2.2解析函数与调和函数的关系,29,一、调和函数,则称为区域D内的调和函数。,且满足拉普拉斯(Laplace)方程：,30,同理,有,一、调和函数,若函数,和,在区域,内解析，,则,定理,在区域,内都是调和函数。,31,二、共轭调和函数,条件是：,在区域D内，v是u的共轭调和函数。,则称v是u的共轭调和函数。,且满足C-R方程：,-u是v的共轭调和函数,32,三、构造解析函数,使解析，且满足指定的条件。,(1)u和v本身必须都是调和函数；,(2)u和v之间必须满足C-R方程。,33,三、构造解析函数,(不妨仅考虑已知实部u的情形),(1)由u及C-R方程,(2)将(A)式的两边对变量y进行(偏)积分得：,其中，已知，而待定。,(3)将(C)式代入(B)式，求解即可得到函数,得到待定函数v,的两个偏导数：,(C),34,方法,三、构造解析函数,(1)由u及C-R方程得到待定函数v的全微分：,(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)得到原函数：,其中，或,35,故是调和函数。,由,为,验证,例,实部的解析函数,使得,为调和函数，并求以,36,解,由,由,(2)求虚部。,验证,例,实部的解析函数,使得,为调和函数，并求以,为,3