《微分几何》教学大纲

微分几何课程教学大纲课程名称：微分几何课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间-流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商1.4向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长 、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形3.3空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理 3.6一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。2、理解和熟记简单曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、曲线的弧长和曲线的自然参数等基本概念，能理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。3、理解和熟记空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等重要概念和理论。理解空间曲线论的基本定理。重点是掌握曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等内容，能够论证和计算有关问题。第二章曲面论 教学要点：本章主要研究曲面概念，曲线坐标网，曲面的切平面和法线。引入曲面的第一、第二基本形式，由第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换；由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。介绍本章唯一的整体理论高斯崩尼公式。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：50学时。 教学内容：第一节曲面的概念1.1简单曲面及其参数表示1.2光滑曲面 、曲面的切平面和法线1.3曲面上的曲线族和曲线网第二节曲面的第一基本形式2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距变换2.6保角变换第三节曲面的第二基本形式3.1曲面的第二基本形式3.2曲面上曲线的曲率3.3迪潘(Dupin)指标线3.4曲面的渐近方向和共轭方向3.5曲面的主方向和曲率线3.6曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8高斯曲率的几何意义第四节直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2可展曲面 4.3 线汇第五节曲面论的基本定理 5.1曲面的基本方程和克里斯托斐耳符号5.2曲面的黎曼曲率张量和高斯科达齐迈因納尔迪公式5.3曲面论的基本定理第六节曲面上的测地线6.1曲面上曲线的测地曲率6.2曲面上的测地线6.3曲面上的半测地坐标网6.4曲面上测地线的短程性6.5高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式6.6极小曲面第七节常高斯曲率曲面7.1常高斯曲率曲面7.2伪球面7.3罗氏几何 考核要求：1、理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。2、理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题。3、理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。4、理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景。5、初步认知张量符号, 理解曲面论的基本定理。6、理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性。了解本章唯一的整体理论高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。7、了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。三、教学章节及学时分配教学时数具体分配：教学内容讲课(学时)习题课(学时) 累计一、曲线论 1.1向量函数4261.2 曲线的概念6281.3 空间曲线628二、曲面论2.1 曲面的概念 4262.2 曲面的第一基本形式82102.3 曲面的第二基本形式84122.4 直纹面和可展曲面 62.5 曲面论的基本定理4262.6 曲面上的测地线6282.7 常高斯曲率曲面 2 0 2合计522072四 、教学方法与教学手段说明：本课程以教师为主导、学生为主体，采用适当的教学方法，有效地调动学生的学习积极性，促进学生积极思考，激发学生潜能，打破传统的满堂灌的教学模式，增加课程讨论，充分发挥学生学习的主动性和自觉性。引导学生通过讨论、查阅资料等启发思维，加上教师适当的讲解，拓展知识面，达到了教与学相互促进的目的。每次课前利用5-10分钟讲解上次作业当中难点，纠正错误。课后安排固定的答疑时间切实为学生解惑答疑。五、考核方式考核类型：考试考核形式：闭卷六、使用说明对于不同层次的先修课程有具体的要求，微分几何在应用方面有很大的作用。本专业、本学期重点