常微分方程与差分方程解法归纳

常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程中的二元函数可表示为的形式，我们称为可分离变量的方程。对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为的形式，再对此式两边积分得到从而解出的解，其中C为任意常数。具体例子可参考书本P10P11的例题。一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 如果一阶微分方程中的二元函数可表示为的形式，我们称由此形成的微分方程为一阶线性微分方程，特别地，当时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到，其中C为任意常数。这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设来替换C，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如的解。将其代入我们就可得到这其实也就是，再对其两边积分得，于是将其回代入即得一阶线性微分方程的通解。具体例子可参照书本P16P17的例题。一阶齐次型微分方程（变量代换）如果一阶微分方程中的二元函数满足对于一切非零实数都有等式成立，我们称一阶微分方程为一阶齐次型微分方程。对于此类微分方程的解法，我们一般利用变量代换的方法将其化为一阶可分离变量的方程然后再相应求解。事实上，如果我们令于是。于是一阶齐次型微分方程可表示为然后令将其化为一阶可分离变量微分方程。具体过程如下：令，代入方程可得也就是，它的通解是易求得的，求出它的通解之后将回代就可得到一阶齐次型微分方程的通解。当然，有时候我们令于是。于是一阶齐次型微分方程可表示为也就是此时令，代入方程可得然后再依次求解。有时候后者的代换方法会更简洁，当然两者的解法本质上是没有区别的，具体求解时可以灵活地运用。具体例子可参看书本P20P22的例题。伯努利方程（变量代换）如果一阶微分方程中的二元函数满足等式，我们就称由此形成的微分方程为伯努利方程。对于此类方程的求解，我们可以通过变量替换将其转化为一阶线性微分方程求解。我们可以在方程两边同除以，可以将方程变形为即。我们令，于是方程即利用一阶线性微分方程的通解可得的通解，再将回代就得到了伯努利方程的通解。具体例子可参照书本P22P23的例题。变量代换方法的应用-其他类型的齐次微分方程形如的方程也是齐次方程。对于这种类型的方程通过简单的代换就可以化为一阶齐次型微分方程来进行求解。我们讨论更一般的情形，对于形如的齐次方程，我们令，其中为待定常数，可得，可以选取适当的使得当时，有唯一解，可以化上面的方程为齐次方程，求解此方程，并将代回就得到齐次方程的解。当时要分两种情况讨论。情况一：若，则。原方程可以化为。令则得到变量可分离的方程，然后按照相应的解法即可求解。情况二：若，则中至少有一个为0.当时，原方程为是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。当时，可以令，原方程就变为了这是可变量分离的方程，按照相应的解法即可求解。具体例子可参看书本P24P25的例题。2. 可降阶的高阶微分方程部分（主要讨论二阶微分方程） 形如的微分方程对于形如的微分方程，我们可以连续对等式两边积分n次便可以求得其含有n个任意常数的通解为。具体例子可参看书本P28例题。形如的微分方程一般二阶微分方程可以表示为，当因变量不显含时形成了如的不显含因变量的二阶微分方程。我们可以通过变量代换来进行降阶。我们令，于是方程可化为，这是一个以为未知函数，以为自变量的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为，则。两边积分就得到原方程的通解为。其中为任意常数。具体可参看书本P28P30例题（注意例4！）形如的微分方程与不显含因变量的二阶微分方程的定义类似，我们把形如的微分方程称为不含自变量的二阶微分方程。我们仍然通过变量代换来求解此类方程。我们令，于是方程可化为，这是一个关于的一阶微分方程，我们可以容易求得。设其通解为，则由可得，两边积分就得到原方程的通解为。其中为任意常数。具体例子可参看书本P32P34例题。注：在可降阶的微分方程求解问题中，在消去所设的变元如时我们一定要注意是否会丢失的解。3. 线性微分方程在介绍线性微分方程的解法之前有必要先介绍线性微分方程解的结构与性质。我们直接介绍阶线性微分方程的解的结构与性质。对于区间上的个函数，若存在个不全为0的常数使得在上有，我们就称这个函数在区间上是线性相关的，否则就是线性无关的。此外对于阶线性微分方程的系数都为常数是我们称该方程为阶线性常系数方程，否则为阶线性变系数方程。进一步细分，对于自由项，若就称原方程为阶线性齐次方程，否则为阶线性非齐次方程。若函数是阶线性齐次方程的个线性无关的特解，则为阶线性齐次方程的通解。若函数是阶线性非齐次方程的个线性无关的特解，此外函数是阶线性非齐次方程的1个线性无关的特解，则为阶线性齐次方程的通解。 二阶常系数齐次线性微分方程我们把形如y+py+qy=0的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 我们知道如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 现在先尝试能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程y+py+qy=0得(r 2+pr+q)erx =0. 由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是微分方程的解. 接下来介绍一般的解法，我们把方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时, 函数、是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数、是方程的解, 又不是常数. 因此方程的通解为. (2)特征方程有两个相等的实根r1=r2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, 是方程的解, 又, 所以也是方程的解, 且不是常数. 因此方程的通解为. (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=aib时, 函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx), y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2=2eaxcosbx, , y1-y2=2ieaxsinbx, . 故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解. 可以验证, y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解. 因此方程的通解为 y=eax(C1cosbx+C2sinbx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为: 第一步 写出微分方程的特征方r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2. 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 二阶线性常系数非齐次方程我们把形如y+py+qy=f(x)的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p、q是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x). 当f(x)为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f(x)=Pm(x)elx 型 当f(x)=Pm(x)elx时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为y*=Q(x)elx, 将其代入方程, 得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根, 则l2+pl+q0. 要使上式成立, Q(x)应设为m 次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ +bm-1x+bm , 通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , bm, 并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程 r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)应设为m+1 次多项式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm +b1xm-1+ +bm-1x+bm , 通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , bm, 并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程 r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). 成立, Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+ +bm-1x+bm , 通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , bm , 并得所求特解 y*=x2Qm(x)elx. 综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=Pm(x)elx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy =f(x)有形如 y*=xk Qm(x)elx的特解, 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式, 而k 按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 二、f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx型方程y+py+qy=elxPl (x)coswx+Pn(x)sinwx的特解形式应用欧拉公式可得 elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx , 其中, . 而m=maxl, n. 设方程y+py+qy=P(x)e(l+iw)x的特解为y1*=xkQm(x)e(l+iw)x, 则必是方程的特解, 其中k按liw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1. 于是方程y+py+qy=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx的特解为 =xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx. 综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=elx Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)的特解可设为y*=xk elxR(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式, m=maxl, n, 而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1. 高阶线性常系数微分方程对于阶线性微分方程的解。我们首先讨论阶线性常系数微分方程的解。它的特征方程为，与二阶的情况类似，故可按解得的情况按下表写出微分方程所对应的解。特征方程的根微分方程对应的解单实根可写出一个解K重实根，（k1）可写出k个线性无关解：，一对