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换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别1.1不定积分中第一换元法的定理形式定理1 若fx=gxx，且gudu的原函数容易求出，记 gudu=Gu+c， 则fxdx=Gx+c.证明 若fx=gxx，令u=x，于是有gxdu=Gx+c，du=xdx因而fxdx=gxxdx=gxdu=Gx+c得证。1.2定积分中第一换元法的定理形式定理2 若fx连续，x在a,b上一阶连续可导，且fx=gxx，gu在和构成的区间上连续，其中a=，b=，则abfxdx=gudu.证明 令u=x，由于gu在和构成的区间上连续，记gudu=Gu+c，则abfxdx=abgxxdx =Gxab=Gu=gudu得证。1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 区别：第一换元法在定积分中对未知量x给出了定义范围，要求换元函数x在该定义域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。联系：不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，部分定积分的计算可以利用不定积分的第一换元法求出简单函数fx的任意一个原函数Fx，再用原函数在定义域的上下限的函数值取差值。例1 求01x1+x2dx.解 因为x1-x2dx=-12d-x21-x2=-12d1-x21-x2 =-1221-x212+C=-1-x212+C即x1-x2有一个原函数-1-x212，所以01x1-x2dx=-1-x21201=1.例2 计算积分02cos3x+5dx.解 由于cos3x+5dx=13cos3x+5d3x+5=13sin3x+5+C,于是02cos3x+5dx=13sin3x+502=13sin32+5-13sin5.2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别2.1不定积分中第二换元法的定理形式定理3 设fx连续，x= t及t都连续，x= t的反函数t= -1x存在且连续，并且fttdt=Ft+c， （1）则fxdx=F-1x+c （2） 证明 将（2）式右端求导同时注意到（1）式，得ddxF-1x+c=Ft-1x =ftt1t= fx，这便证明了（2）式。2.2定积分中第二换元法的定理形式定理4 设fx在a,b连续，作代换x= t，其中t在和构成的区间上有连续导数t，且=a，=b，则abfxdx=fttdt.证明 设Fx是fx的一个原函数，则Ft是ftt的一个原函数。于是abfxdx=Fb-Fa，fttdt=F-F=Fb-Fa.定理得证。2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换x= t的反函数存在且连续，并且t0。而在定积分的第二换元法则不这样要求，它通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量t的积分上下限后可以直接求职，不像不定积分的计算最终需要对变量进行还原。例3 用第二换元法求解01x1-x2dx解 令x=cost，于是dx=-sintdt，其中t32,2，则01x1-x2dx=322
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