归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何物理力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1. 预备知识1.1二重积分的定义设是定义在可求面积的有界区域上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于的任意分割,当它的细度时,属于的所有积分和都有 ,则称在上可积,数称为函数在上的二重积分,记作,其中称为二重积分的被积函数, 称为积分变量, 称为积分区域.1.2二重积分的若干性质1.21若在区域上可积, 为常数,则在上也可积,且 .1.22 若,在上都可积,则在上也可积,且.1.23 若在和上都可积,且与无公共内点,则在上也可积,且1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设在矩形区域上可积,且对每个,积分存在,则累次积分也存在,且. 同理若对每个,积分存在,在上述条件上可得 2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的型型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算型区域: 型区域: 定理:若在区域上连续,其中,在上连续,则即二重积分可化为先对,后对的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为型,有 例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积.解：设圆柱底面半径为,两个圆柱方程为 与.只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以为曲顶,以四分之一圆域:为底的曲顶柱体,所以 于是.另外,一般常见的区域可分解为有限个型或型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.2.2 二重积分的变量变换公式定理: 设在有界闭域上可积,变换: , 将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域,函数,在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式, ,则. 用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.例1 求,其中是由,所围区域.解 为了简化被积函数,令,.为此作变换:,则.即例2 求抛物线，和直线，所围区域的面积解的面积为了简化积分区域，作变换： ，它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域由于，所以2.3 用极坐标计算二重积分定理: 设在有界闭域上可积,且在极坐标变换： ，下，平面上有界闭区域与平面上区域对应，则成立其中当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为时，采用该极坐标变换二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：（i）若原点，且平面上射线常数与边界至多交与两点，则必可表示成，于是有类似地，若平面上的圆常数与的边界多交于两点，则必可表示成，所以.（ii）若原点为的内点，的边界的极坐标方程为，则可表示成，.所以.(iii)若原点在的边界上,则为,于是例1 计算,其中为圆域: .解 利用极坐标变换,由公式得. 与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换： ，如求椭球体的体积时，就需此种变换2.4利用二重积分的几何意义求其积分当时，二重积分在几何上就表示以为曲顶，为底的曲顶体积当时，二重积分的值就等于积分区域的面积例6 计算：，其中：解因为被积函数，所以表示为底的为顶的曲顶柱体体积由平行面的截面面积为，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算.利用变量代换计算设为有界闭域，它的边界曲线，且，当时，；当时，。设在上连续，且存在，使得，则.利用格林公式计算定理若函数，在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有这里为区域的边界线，并取正方向计算步骤：（） 构造函数，使，但，在上应具有一阶连续偏导数；（）利用格林公式化曲线积分求之例7计算，是由椭圆，所围成解法一（利用变量代换）设为在第一象限，则解法二（利用格林公式）令，则，2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法.积分区域关于坐标轴对称性质若在区域内可积，且区域关于轴（或轴）对称，则二重积分满足下列性质：其中为区域被轴（或轴）所分割的两个对称子域之一例计算，其中是由所围成的闭区域解析由于积分区域关于轴轴均对称性，只需考虑被积函数关于或的奇偶性易见，关于或既非奇函数，也非偶函数若记，则且为的奇函数，为的奇函数由此由性质，有，故有.积分区域关于某直线对称性质若在区域内可积，且区域关于对称，则二重积分满足下列性质：其中为区域被所分割的两个对称子域之一例求，其中由直线，围成解析对任意，有而当时，当时，故作直线：，把分成和两部分，而和关于直线对称又关于直线偶对称故2.8 运用导数的定义求极限例10 计算思路：对具有或形式的极限，可由导数的定义来进行计算.解：原式=2.9运用定积分的定义求极限例11 计算思路：和式极限，利用定积分定义求得极限.解：原式2.10 运用微分中值定理求极限例12：计算思路：对函数在区间上运用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式 （其中在区间内）总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活