反常积分的敛散性判定方法

内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作 者 陈志强 学 院 统计与数学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2012级 学 号 122094102 指导教师 魏运 导师职称 教授 最终成绩 75分 欢迎下载 目 录摘要 .1关键词.1 引言-2一、预备知识. 2 1.无穷限反常积分.2 2.瑕积分.33.反常积分的性质.3二、反常积分的收敛判别法.4 1无穷积分的收敛判别.4(1).定义判别法.4 (2).比较判别法.4 (3).柯西判别法.5 (4)阿贝尔判别法. 6 (5).狄利克雷判别法.7 2瑕积分的收敛判别. .8 (1).定义判别法.8 (2).定理判别法.9 (3).比较判别法.9 (4).柯西判别法.9 (5).阿贝尔判别法.10 (6).狄利克雷判别法.10参考文献. 11 欢迎下载 摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。关键词：反常积分 瑕积分 极限 敛散性 引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析（上册），对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。华中科技大学出版的数学分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解，还用图形的方法说明其意义。引申出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文将对其进行归纳总结，举例说明其应用。一 、 预备知识1.无穷限反常积分定义1.1设函数在，）有定义，若在，A上可积（Aa）且当A时， 存在，称反常积分 收敛，否则称反常积分 与发散。对反常积分与注意：只有当和都收敛时，才认为是收敛的。2.瑕积分定义1：设f(x)在a的任何邻域内均无界，则称a为f(x)的一个瑕点定义2：设f(x)在内有定义，且b为唯一瑕点，若存在，称瑕积分收敛定义3：设C且为f(x)的一个瑕点，若和均收敛，则称瑕积分3.反常积分的性质(1)Cauchy收敛原理：收敛0，a,当时，有(2)线性性质：若与都收敛，则对任意常数，也收敛，且有=(3)积分区间可加性，若收敛，则b,=.(4)若收敛，则。2、 反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的敛散性判别 （1）定义判别法设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积.如果存在极限 ，则称收敛，否则发散，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不存在广义积分发散例1.1计算无穷积分 （是常数，且）解：式中 (2).比较判别法的普通形式：在有定义，且（a）（b）=+=+例1.2 讨论的收敛性 解：由于 ， 因为为收敛，所以根据比较判别法为绝对收敛。(3).比较判别法的极限形式：在有定义，且非负，且则： （a）当 （b）= （c）a）使得当时成立 即 于是由比较判别法，当收敛时也收敛 （2）若，由极限的性质，存在常数A（A），使得当时成立 其中0于是由比较判别法，当发散时也发散 例 1.3 讨论的敛散性 解：，而收敛，所以收敛 总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确，同时又形成简单的函数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取为比较对象的，因为它们正好能满足这俩个条件 (4).柯西判别法： 设在有定义，在任何有限区间上可积，且则有：当时，收敛当，时，发散 (5).阿贝尔判别法：满足： （a）单调有界 （b）收敛 则收敛证：由于存在M0，使 再由（2）可知，0,当时，有又=（+）=2 再次由柯西准则知Abel定理成立。例1.4 证 (0A） 则收敛。证：由于存在M0，有界，所以有又由于f（x）0（x)故对0,当时，有即，所以同理有，故当时，有 例1.5 证积分收敛，但不绝对收敛证：，而单调且当时趋于0，故由Dirichlet判别法知收敛；但= 而，单调趋于0，故收敛，而发散，故发散例1.6 积分的敛散性 当时是可积的；当时，它是不可积的，因为这时被积函数在上无界。但作为反常积分，当时收敛；当时发散；因为当时有 而当时有例1.7 积分作为反常积分，当时它收敛；当时它发散。这是因为当时有而当p=-1时有2. 瑕积分的收敛判别 （1）定义判别法设函数定义在无穷区间上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间有限区间上有界且可积.如果存在极限 ，则称反常积分收敛.，否则发散例2.1计算瑕积分的值解：被积函数在上连续，从而在任何上可积，为其瑕点.依定义求得 (2)定理判别法（柯西收敛原理） 瑕积分（瑕点为a）收敛的充要条件是：任给，存在，只要总有=0 (3).比较法则 设f(x)定义于，a为其瑕点，且在任何上可积，如果 当时，收敛 当，时，发散 (4).柯西判别法 设x=a是f(x)的瑕点，如果 那么绝对收敛；如果那么发散 例2.2 讨论的敛散性（） 解：x=0是其唯一奇点。 当时，取，则，由柯西判别法知，收敛 类似的， 当时，取，则由柯西判别法知，发散 当 时，可以直接用Newton-leibniz公式得到因此,当时，反常积分收当敛;当时，反常积分发散 (5).阿贝尔判别法 设f(x)在x=a有奇点，收敛，g(x)单调有界，那么积分收敛 (6).狄利克雷判别法 设f(x)在x=a有奇点， 是的有界函数，g(x)单调且当xa时趋于零，那么积分例2.3 讨论积分的收敛情形 当时，积分绝对收敛，又 当即时，由狄利克雷判别法，从单调趋向于零（）推知积分收敛.当时，所以积分发散参考文献【1】欧阳光中， 数学分析 第三版