说课(复变函数与积分变换)

复变函数与积分变换教师：院系： 复变函数与积分变换是数学专业的一门学科基础课，是数学分析在复数域内的推广，因此它需要扎实的数学分析基础知识做铺垫。通过本门课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常勇的数学方法，同时还可以巩固和复习数学分析的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。下面我从以下几个方面谈谈如何讲授复变函数与积分变换这门课程。一、教材1、 教学用教材： 复变函数与积分变换： 教育科学“十五”国家规划课题研究成果 主编：苏变萍、陈东立 编高等教育出版社这本教材从工程实际应用的角度出发，注重基础性、系统性和实用性，较深入地介绍了复变函数的导数，积分，级数，留数及傅立叶变换和Laplace变换等。全书共九章（具体内容在教学设计过程中进行详细介绍），每一章后面都给出了相应的习题，并在书中提供了部分习题参考答案供学生参考、对照。本书具有体系严谨，逻辑性强，内容组织由浅入深，理论联系实际，讲授方式比较灵活。2、 辅助教材： 复变函数（第三版），钟玉泉，高教出版社3、先修后续课：先修：数学分析二、教学方法与教学设计过程（一） 课程的简要介绍1、复变函数与积分变换课程是数学专业的一门主要的专业必修课，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于数学的其他学科，对于物理、力学、工程技术中的一些问题，有许多重要的应用。通过本课程的教学，使得学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力，从而为充实教学、科研及其他实际工作打好基础。2、学好本门课程需要扎实的数学分析的基础知识，尤其要熟练掌握函数的导数与积分的计算，除了应该具备的数学基础外，还需有融会贯通能力及较强的理解能力。比如理解复变函数的解析性与可导性的区别，解析函数的双边幂级数的展开等。 （说到这里，对于那些数学分析基础好的学生心里暗喜，但是对那些基础较差的同学来说可能是一个打击，这部分同学可能就存在不想学的心理了，所以还得把话拉回来，基础好固然好，但是基础差的同学也不要灰心，咱们在上课的过程中，遇到和以前的学科有关的地方，如果大家忘记了或不懂，会详细讲解。因此，复变函数的学习本身也是对数学分析的复习和巩固。）3、学习复变函数与积分变换，要熟练掌握复变函数的求导和积分计算的各种方法，能够区分复变函数与实变量的函数在导数和积分运算上的联系与区别。 4、要珍惜每次做练习题的机会。题目不在多、在精，一般把书本上每章后面的习题全部掌握（第一次做不来不要紧，关键是要弄懂），你就算达到基本掌握的程度了。 （二）教学内容的组织1、复数无序，也即是说，复数无法比较大小。讲好这一点很重要，它能让学生区分实数与复数的本质区别。这是建立复变函数理论的基础。2、极限是建立复变函数导数与积分的重要工具。因此，要从极限的定义出发讲清楚复变函数的极限与实变量函数极限之间的联系和区别。重点理解复变函数解析的含义，区分复变函数的可导性和解析性，会利用柯西黎曼条件判定函数的解析性。在此可以让学生模仿实变量的导数的定义，类似的给出复变函数的导数的概念，这可以帮助学生加深对导数这一概念的理解；此外，通过对复变函数求导的练习，进一步巩固实变量函数的导数运算。但是特别要注意复变函数在一点处可导和解析的区别。3、积分在复变函数的研究中极其重要，它的理论简明，证明简练，应用广泛。在此可以引导学生利用已有的实变量下的积分概念，来模仿定义复变函数的积分。重点讲解单连通区域上解析函数的柯西积分定理及复连通区域上的柯西积分定理。将数学分析中级数的相关内容推广到复数域。讲解解析函数的泰勒展开式和洛朗展开式，通过具体的例子说明洛朗级数是复变函数特有的形式。学习和思考如何利用数学分析中已有的工具，将实际问题与抽象描述相结合，对于学生分析问题的能力有很大的帮助。4、留数理论作为复变函数的重要内容之一，对复变函数的理论及应用的发展起到了很大的推动作用。留数又称残数，复变函数论中一个重要的概念。是解析函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。这是一个比较抽象的概念，要讲清楚这个概念，可以结合留数的物理背景。如果被积函数f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分表示旋源的强度环流量，所以留数是环流量除以2i的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成洛朗级数，将它沿|za|=R逐项积分，立即可见Resf(z)，a=a-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。因此，对于抽象的概念，我们要结合具体的物理背景或几何背景来理解，这将有助于学生深刻理解留数的概念。5、在自然科学和工程技术中，为把较复杂的运算简单化，人们常常采用变换的方法来达到。傅立叶变换和拉普拉斯变换是最为常用的两种方法。它们广泛存在于数学的许多分支中，而且在其他学科，如振动力学，电工学，无线技术领域中都有着广泛的应用。结合这些特定的物理背景和具体的数学理论知识，引出傅立叶变换哈拉普拉斯变换的定义和性质，通过学习，学生能够利用两种变换解决具体的问题。（三）教学方法与教学形式1、板书讲授本门课程中某些复变函数积分的计算较为复杂，用到数学分析的知识较多，若用多媒体课件来进行讲授，学生仅仅是知道了这个公式是什么，而不能深入理解该公式或该方法的得出、推导以及具体应用是什么。而用板书的方法与学生在课堂上一起讨论，印象更加深刻，记忆也就更加牢固。同时，对于那些有考研意向的同学，用这种方法讲授也可以提高他们的逻辑思维及推导能力，目前学生在学习上缺少目标和主动性，普遍具有一个很不好的习惯：吃等食。老师喂一口就吃一口，不能自己独立地思考，自己深入思考，这样在考研数学的时候是很吃亏的，通过这门课程也在某种程度上锻炼学生的独立思考能力。2、讨论式教学在有些公式或方法的讲授时，可以留给学生来做，或者用他们自己的方法来验证，这样能大大提高学生学习的热情和积极性。3、习题课教学方法改革尽量少留作业，拿出一道或几道典型的题目，或一题多解，让学生独立完成，尽量减少互相抄袭的事件发生。三、整本书的体系结构本书共九章，结合专业需求和学生的实际水平，并考虑到学时的限制，本书中第6章和第7章不讲。第一篇 复变函数第1章 复数与复变函数1.1 复数1.2 复数的乘幂与方根1.3 平面点集1.4 复变函数1.5 初等函数第1章习题第2章 导数2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数第2章习题第3章 积分3.1 积分的概念、性质、计算3.2 柯西定理及其推广3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的导数第3章习题第4章 级数4.1 收敛序列与收敛级数4.2 幂级数4.3 泰勒级数4.4 洛朗级数第4章习题第5章 留数5.1 解析函数的孤立奇点5.2 留数的一般理论5.3 留数在计算定积分和反常积分中的应用第5章习题