微积分之幂级数

注意：对于级数，当收敛时，绝对收敛.例 证绝对收敛：令，则收敛收敛故 原级数绝对收敛. 7.5 幂级数教学目的：弄清幂级数的相关概念；掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幂级数的性质，能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.重难点：掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幂 级数的性质，能灵活正确运用性质求幂级数的和函数，以及常 数项级数的和.教学方法：启发式讲授教学过程：一、函数项级数的概念1【定义】设 是定义在区间上的函数,则 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.2收敛域(1) 收敛点 常数项级数 收敛；(2) 发散点常数项级数 发散；(3) 收敛域 函数项级数的所有收敛点形成的集合；(4) 发散域 的发散点的全体构成的集合.3和函数 , .若函数项级数在收敛域内每一点都对应于的一个函数值，则称为函数项级数的和函数.4余项 , , . 注: 只有在收敛域上, 才有意义； , .二、幂级数及其收敛半径和收敛域1【定义】形如的函数项级数称为的幂级数.（也称为一般幂级数），其中 为常数，称为幂级数的系数.当时, 称为的幂级数（也称为标准幂级数）, 其中常数（）称为幂级数的系数.结论：对于级数，作代换可以将一般幂级数化为标准幂级数，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.的收敛域：此级数的全体收敛点的集合.显然: (收敛域)，即幂级数总在点处收敛. 例如: , 均为幂级数. 显然: 的收敛域,其发散域. 且和函数 .此结论可当公式使用.2.级数的收敛域把级数的各项取绝对值得正项级数，记 ，则 ；于是由比值判别法知（1）若，即，绝对收敛.(2) 若，即，发散.(3) 若，即，比值法失效，敛散另行判定.（4）若，即，此时对任意，收敛.上述分析显示级数在一个以原点为中心，从到的区间内绝对收敛，区间称为幂级数的收敛区间，为收敛半径.若级数仅在点收敛，则规定，级数的收敛域为例如 级数 由于 ， 级数收敛域为 或 ；独点集.若对任意都收敛，则，级数的收敛域为.当时，要讨论级数在处的敛散性才能确定收敛域.此时收敛域可能是下列区间之一：3.【阿贝尔定理】（补充）设的收敛域为，则（1）若且, 则对, 收敛且绝对收敛. (2) 若, 则 对,有即级数发散.证明: (1) 收敛，由 收的常数）,因,从而 收敛,正项级数收敛收敛即对,收敛且绝对收敛.(2) ,假若有满足收敛矛盾. 所以,有发散，即. 注意:(1) 若, 则 (收敛域), ； (2) 若, 则 (发散域). 4.【定理7.13】若幂级数系数满足条件 或（为常数或），则 (1) 当时, 则； (2) 当时, 则. （3）当时, 则. 常用公式: ，.例如: 幂级数的收敛半径,时，级数发散，故其敛区与敛域均为.例1 求幂级数的收敛半径与收敛域.解 (1) 级数的通项为 . (2) 当时, 级数为收敛；当时, 级数为发散.故收敛区间（敛区）是，收敛域为（敛域）.例2（1） 求幂级数的收敛半径与收敛域.解: ,故 收敛区间和收敛域均是 .（2） 求幂级数的收敛半径.解: .练习：求幂级数的收敛半径与收敛域.提示：，又时级数发散.收敛域.例3 （1）求幂级数的收敛半径与收敛域.（缺项级数）提示：当时级数收敛；当时级数发散.当 时，原级数是，收敛的交错级数.所以 收敛半径，收敛区间，收敛域.注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.（2）求幂级数的收敛域.解：由时级数收敛，由由时级数发散. 得 当时，收敛，当时，收敛，所以 收敛域为 .例4求幂级数的收敛半径与收敛域.（中心不在原点的级数）解 令,幂级数变形为,时级数绝对收敛，时级数发散，当时原级数为收敛，当时，发散，故 原级数收敛半径，收敛域为.注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.提问：（1）(02.3) 设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为（A） (A) 5 (B) (C) (D) 答案 ,（2） (90.5) 求级数的收敛域.解 令，级数,由知,因此当即时级数收敛.当时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛.所以收敛域为.（3） (92.3) 级数的收敛域为.答 令 对于,由,于是收敛半径,则,即内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.三、幂级数以及和函数的运算性质1.设 的收敛半径分别为1）加减法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,. 其中: 待定, 而由系列表达式,确定.此处, , 但.2.幂级数的和函数在其收敛区间内是连续.3.幂级数的和函数在其收敛区间内可积，且有逐项积分公式 ,.(积分前后的收敛半径不变).例: , .逐项积分时在处无意义.4.幂级数的和函数在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 , .说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变.公式 收敛域为例5 求幂级数的和函数,并求.解：(1) .当时, 级数为收敛；当时, 级数为发散. 故原级数收敛域是.(2) 当时, 有.于是 , 由于且幂级数在其收敛域上连续, 取 代入和函数可得 .（2）求幂级数的和函数，并求级数及级数的和.解 1），所以.当时，发散，当时，发散.所以 级数敛域为.2）设，则为所求和函数.3）令，则有 ，所以.4）令，则有 ，所以.练习：（1）求幂级数的和函数：(2) (99.3) .因为,令，则有,所以答案为4.例6 (00.6) 设求的和.解 由,得,令,则其收敛半径,在内,于是 ,令,则,从而 .例7 (03.9) 求幂级数的和函数及其极值.解 依题意上式两边从0到积分,得,由得.令,求得唯一驻点,由于可见在处取得极大值,且极大值为.例8(05.9) 求幂级数在区间内的和函数.解 设,则 , 由于因此 又由于 所以 故 练习:求下列级数的收敛区间,并求和函数:(1)解 该级数为,由,知当时幂级数绝对收敛.当时,幂级数收敛;当时,幂级数收敛,所以原幂级数的收敛域为.设,则当时有,所以 .(2)解 该幂级数为,由,知当时幂级数绝对收敛.当时,幂级数发散;当时,幂级数发散,所以原幂级数的收敛区间为.设,则当时,有.小结：1.注意收敛区间与收敛域的联系与区别. 2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时，求导或求积分时前后的收敛区间不变. 3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和；求出和函数后， 取的特值代入和函数即得所求. 4对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常