2016年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4， 5，则（ ） A A B B B A C AB=2， 3 D A B=1， 4， 5 2若复数 x 满足 x+i= ，则复数 x 的模为（ ） A B 10 C 4 D 3双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 4已知数列 是等差数列，若 a2+， a4+，则 a7+ ） A 7 B 8 C 9 D 10 5下列说法中不正确的个数是（ ） 命题 “ x R， 0”的否定是 “ R， 0”； 若 “p q”为假命题，则 p、 q 均为假命题； “三个数 a， b， c 成等比数列 ”是 “b= ”的既不充分也不必要条件 A O B 1 C 2 D 3 6若 函数 f（ x） =2 的一个零点， （ 0， （ +），则（ ） A f（ 0， f（ 0 B f（ 0， f（ 0 C f（ 0， f（ 0 D f（ 0， f（ 0 7已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，给出下列命题 =l m； l m； l m ； l m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 8已知向量 =（ ， ）， =（ = ，且 ，则 x+ ）的值为（ ） A B C D 9设变量 x， y 满足约束条件 ，目标函数 z=y（ a， b 均大于 0）的最大值为 8，则 a+b 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 2 D 2 第 2 页（共 17 页） 10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为 V，并且可以用 n 个这样的几何体拼成一 个棱长为 4 的正方体，则 V， n 的值是（ ） A V=32， n=2 B C D V=16， n=4 11在平面直角坐标系 ，已知 C： y 1） 2=5，点 A 为 C 与 x 轴负半轴的交点，过 A 作 C 的弦 线段 中点为 M，若 |则直线 斜率为（ ） A 2 B C 2 D 4 12已知函数 f（ x） =x+a 的图象与 x 轴只有一个交点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） （ 1， +） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13抛物线 y= 4准线方程是 _ 14若 | |=1， | |= ， ，且 ，则向量 与 的夹角为 _ 15设函数 f（ x） = ，且函数 f（ x）为奇函数，则 g（ 2） =_ 16已知在三棱锥 P ， B=， ， 面 平面 三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 _ 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知在等比数列 ， ， a =2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=+数列 的前 n 项和 18已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2c 2b=0 （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 a=1，求 长的取值范围 19如图，四棱锥 P 底面是矩形， 等边三角形，且平面 平面 ， F 分别为 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明：平面 平面 （ 3）若 ， ，求四棱锥 P 体积 第 3 页（共 17 页） 20已知函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）求函数 h（ x） =f（ x） x+1 的最大值； （ 2）对于任意 （ 0， +），且 否存在实数 m，使 +为正数？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 21已知椭圆 E： 过点（ 0， ），且离 心率为 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若以 k（ k 0）为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A， B，且线段 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求 k 的取值范围 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径，过点 B 作 O 的切线 O 于点 E， 延长线交 点 D （ 1）求证： D （ 2）若 C=2，求 长 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 =2 （ I）求出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （ 直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求 |值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x 1| |x+2| （ 1）解不等式： f（ x） 0； （ 2）若 f（ x） +3|x+2| |a 1|对一切实数 x 均成立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2016 年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3，集合 B=2， 3， 4， 5，则（ ） A A B B B A C AB=2， 3 D A B=1， 4， 5 【考点】 交集及其运算；并集及其运算 【分析】 根据 A 与 B，找出 A 与 B 的交集，并集，即可做出判断 【解答】 解： A=1， 2， 3， B=2， 3， 4， 5， AB=2， 3， A B=1， 2， 3， 4， 5， 1B， 4， 5A， 故选： C 2若复数 x 满足 x+i= ，则复数 x 的模为（ ） A B 10 C 4 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算求得复数 x，再求其模即可 【解答】 解： x+i= ， x= i= 1 3i， |x|= ， 故选： A 3双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可 【解答】 解：双曲线 的一条渐近线方程为 ， 可得 = ，即 ，解得 ， e= 故选： A 4已知数列 是等差数列，若 a2+， a4+，则 a7+ ） A 7 B 8 C 9 D 10 第 5 页（共 17 页） 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由数列 是等差数列，得 an+等差数列，由已知求出 an+公差，再代入等差数列通项公式求得 a7+ 【解答】 解： 数列 是等差数列， an+等差数列， 由 a2+， a4+，得 d= a7+ a4+3 1=5+3=8 故选： B 5下列说法中不正确的个数是（ ） 命题 “ x R， 0”的否定是 “ R， 0”； 若 “p q”为假命题，则 p、 q 均为假命题； “三个数 a， b， c 成等比数列 ”是 “b= ”的既不充分也不必 要条件 A O B 1 C 2 D 3 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据含有量词的命题的否定判断 根据复合命题与简单命题之间的关系判断 根据充分条件和必要条件的定义判断 【解答】 解： 全称命题的否定是特称命题， 命题 “ x R， 0”的否定是 “ R， 0”正确 若 “p q”为假命题，则 p、 q 至少有一个为假命题；故错误 “三个数 a， b， c 成等比数列 ”则 b2= b= ， 若 a=b=c=0，满足 b= ，但三个数 a， b， c 成等比数列不成立， “三个数 a， b， c 成等比数列 ”是 “b= ”的既不充分也不必要条件，正确 故不正确的是 故选： B 6若 函数 f（ x） =2 的一个零点， （ 0， （ +），则（ ） A f（ 0， f（ 0 B f（ 0， f（ 0 C f（ 0， f（ 0 D f（ 0， f（ 0 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 因为 函数 f（ x）的一个零点 可得到 f（ =0，再由函数 f（ x）的单调性可得到答案 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x 的一个零点， f（ =0， 又 f（ x） =2 0， f（ x） =2x 是单调递增函数，且 （ 0， （ +）， f（ f（ =0 f（ 故选： D 第 6 页（共 17 页） 7已知直线 l 平面 ，直线 m平面 ，给出下列命题 =l m； l m； l m ； l m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【考点】 平面与平面之间的位置关系 【分析】 由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线 l 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 为真命题； 当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平 面内，故 为假命题； 由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线 m 平面 ，再利用面面垂直的判定可得 为真命题； 当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线 内，则有 和 相交于 m，故 为假命题 【解答】 解： l 平面 且 可以得到直线 l 平面 ，又由直线 m平面 ，所以有 lm；即 为真命题； 因为直线 l 平面 且 可得直线 l 平行与平面 或在平面 内，又由直线 m平面 ，所以 l 与 m，可以平行，相交，异面；故 为假命题； 因为直线 l 平面 且 l m 可得直线 m 平面 ，又由直线 m平面 可得 ；即 为真命题； 由直线 l 平面 以及 l m 可得直线 m 平行与平面 或在平面 内，又由直线 m平面 得 与 可以平行也可以相交，即 为假命题 所以真命题为 故选 C 8已知向量 =（ ， ）， =（ = ，且 ，则 x+ ）的值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算 【分析】 由平面向量的数量积和三角函数公式可得 x+ ），再由角的范围和同角三角函数基本关系可得 【解答】 解： 向量 =（ ， ）， =（ = ， = x+ ） = ， x+ ） = ， 又 ， 第 7 页（共 17 页） x+ ， x+ ） = = ， 故选： A 9设变量 x， y 满 足约束条件 ，目标函数 z=y（ a， b 均大于 0）的最大值为 8，则 a+b 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 2 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数 z=y（ a 0， b 0）的最大值为 8，求出 a， b 的关系式，再利用基本不等式求出 a+b 的最小值 【解答】 解：满足约束条件的区域是一个 四边形，如下图： 4 个顶点是（ 0， 0），（ 0， 2），（ ， 0），（ 2， 6）， 由图易得目标函数在（ 2， 6）取最大值 8， 即 8=2， ， a+b 2 =2，在 a=b=2 时是等号成立， a+b 的最小值为 2 故选： D 10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积 为 V，并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体，则 V， n 的值是（ ） 第 8 页（共 17 页） A V=32， n=2 B C D V=16， n=4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可 【解答】 解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥， 所以 V= ， 边长为 4 的正方体 V=64，所以 n=3 故选 B 11在平面直角坐标系 ，已知 C： y 1） 2=5，点 A 为 C 与 x 轴负半轴的交点，过 A 作 C 的弦 线段 中点为 M，若 |则直线 斜率为（ ） A 2 B C 2 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 因为圆的半径为 ，所以 A（ 2， 0），连接 出圆的直径，在三角形 ，利用正弦定理求出 用 补，即可得出结论 【解答】 解：因为圆的半径为 ，所以 A（ 2， 0），连接 题意 因此，四点 C， M， A， O 共圆，且 是该圆的直径， 2R=， 在三角形 ，利用正弦定理得 2R= ， 根据题意， M=2， 所以， = ， 所以 ， 2（ 钝角）， 而 补， 所以 ，即直线 斜率为 2 故选： C 12已知函数 f（ x） =x+a 的图象与 x 轴只有一个交点，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 9 页（共 17 页） A（ ， 1） （ ， +） B（ ， 1） C（ ， 1） D（ ， ） （ 1， +） 【考点】 函数的图象 【分析】 求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线 f（ x）与 x 轴仅有一个交点，可转化成 f（ x） 极大值 0 或 f（ x） 极小值 0 即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x+a 的导数为 f（ x） =32x 1， 当 x 1 或 x 时， f（ x） 0， f（ x）递增； 当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）递减 即有 f（ 1）为极小值， f（ ）为极大值 f（ x）在（ ， ）上单调递增， 当 x 时， f（ x） ； 又 f（ x）在（ 1， +）单调递增，当 x+时， f（ x） +， 当 f（ x） 极大值 0 或 f（ x） 极小值 0 时，曲线 f（ x） 与 x 轴仅有一个交点 即 a+ 0 或 a 1 0， a （ ， ） （ 1， +）， 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13抛物线 y= 4准线方程是 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 化抛物线的方程为标准方程，可得 p 值，结合抛物线的开口方向可得方程 【解答】 解：化抛物线方程为标准方程可得 ， 由此可得 2p= ，故 ， ， 由抛物线开口向下可知，准线的方程为： y= ， 故答案为： 14若 | |=1， | |= ， ，且 ，则向量 与 的夹角为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出 【解答】 解：设向量 与 的夹角为 ， ，且 ， 第 10 页（共 17 页） =（ + ） = + =| |2+| | |， 即 1+ ， 即 ， 0 = ， 故答案为： 15设函数 f（ x） = ，且函数 f（ x）为奇函数，则 g（ 2） = 6 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可得到结论 【解答】 解： 函数 f（ x）为奇函数， f（ 2） =g（ 2） = f（ 2） =（ 22+2） = 6； 故答案为： 6 16已知在三棱锥 P ， B=， ， 面 平面 三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 3 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出 P 到平面 距离为 ， 截面圆的直径， ，由勾股定理可得 ） 2+ ） 2+（ d） 2，求出 R，即可求出球的表面积 【解答】 解：由题意， 截面圆的直径， ， 设球心到平面 距离为 d，球的半径为 R， B=1， ， 平面 平面 P 到平面 距离为 由勾股定理可得 ） 2+ ） 2+（ d） 2， d=0， ， 球的表面积为 4 故答案为： 3 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知在等比数列 ， ， a =2 第 11 页（共 17 页） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=+数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）设数列 公比为 q，从而由 a =2 可解得 q= ， ，从而解得； （ 简 bn=+（ 1+2+3+n） = ，故 = 2（ ），从而求和 【解答】 解：（ I）设数列 公比为 q， 由 a =2（ 2=2a1 q= ， 由 得 故数列 通项公式为 （ bn=+（ 1+2+3+n） = ， = = 2（ ）， 2（ 1 ） +（ ） +（ ） = 18已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2c 2b=0 （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 a=1，求 长的取值范围 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由余弦定理化简已知等式，整理得 c2+a2=求 ，结合范围 0 A ，即可得解 A 的值 （ 2）由（ 1）可求 正弦定理可得 = = ，可求 l=2B+ ） +1由 0 ，利用正弦函数的性质可求周长的取值范围 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ 1）由已知 2c 2b=0， 由余弦定理得： 2a +c 2b=0， 整理得 c2+a2= 第 12 页（共 17 页） ， 0 A ， A= （ 2） ， ， 由正弦定理得： = = ， 周长： l=1+ （ =1+ B+ ） =2B+ ） +1 0 ， B+ ， B+ ） 1， 因此 2 l 3，故 周长的取值范围为：（ 2， 3 19如图，四棱锥 P 底面是矩形， 等边三角形，且平面 平面 ， F 分别为 中点 （ 1）证明： 平面 （ 2）证明：平面 平面 （ 3）若 ， ，求四棱锥 P 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据线面平行的判定定理进行证明即可 （ 2）根据面面垂直的判定定理进行证明即可 （ 3）根据条件求出四棱锥的高，利用棱锥的体积公式进行求解即可 【解答】 解：（ I）连结 F 也是 中点， 又 E 是 中点， 又 面 面 平面 （ 平面 平面 平面 面 D， 面 平面 又 面 平面 平面 （ 中点 H，连接 等边三角形， 又平面 平面 平面 面 D， 第 13 页（共 17 页） 面 平面 ， ， = 20已知函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）求函数 h（ x） =f（ x） x+1 的最大值； （ 2）对于任意 （ 0， +），且 否存在实数 m，使 +为正数？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的定义域、导数 h（ x），由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值； （ 2） + 0 恒成立，只需 +设 （ x） =x） +x） = 0 只需 （ x）在（ 0， +）上单调递减从而有 （ x） =2+0 在（ 0， +）上恒成立，分离出参数 m 后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值 【解答】 解：（ 1）函数 h（ x）的定义域为（ 0， +）， h（ x） =x+1， h（ x） = ， 当 x （ 0， 1）时， h（ x） 0；当 x （ 1， +）时， h（ x） 0 h（ x）在（ 0， 1）上是单调递增，在（ 1， +）上单调递减， h（ x） h（ 1） =0，即函数的最大值为 0 （ 2）若 + 0 恒成立，只需 + + 设 （ x） =x） +x） = 又 0 只需 （ x）在（ 0， +）上单调递减 （ x） =2+0 在（ 0， +）上成立，得 2m ， 设 t（ x） = ，则 t（ x） = ，知函数 t（ x）在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， +）上单调递增，即 t（ x） t（ 1） = 1 存在实数 m ，使 +为正数 21已知椭圆 E： 过点（ 0， ），且离心率为 第 14 页（共 17 页） （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若以 k（ k 0）为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A， B，且线段 垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 ，求 k 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆 的离心率公式和 a， b， c 的关系，即可得到椭圆方程； （ 2）设直线 l 的方程为 y=kx+m（ k 0）， A（ B（ 联立方程 ，整理得（ 3+412=0，运用判别式大于 0 和韦达定理，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为 1，求得垂直平分线方程，求得与坐标轴的交点，可得三角形的面积，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1）由题意可得 b= ， e= = ， b2= 解得 a=2， b= ， c=1， 椭圆 E 的方程为 + =1； （ 直线 l 的方程为 y=kx+m（ k 0）， A（ B（ 联立方程 ，整理得（ 3+412=0， 此方程有两个不等实根，可得 =（ 82 4（ 3+4 412） 0， 整理得 3+40 由根与系数的关系，可得线段 中点坐标（ 足 = ， y0=m= ， 垂直平分线方程为 y = （ x+ ） 此直线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为（ ， 0），（ 0， ）， 由已知得 | | |= 整理得 ， k 0 将 代入 得 4+3 0， 整理得（ 3+4 48|k|+3） 0， k 0， 解得 |k| ， 所以 k 的取值范围为（ ， ） （ ， ） 第 15 页（共 17 页） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径，过点 B 作 O 的切线 O 于点 E， 延长线交 点 D （ 1）求证： D （ 2）若 C=2，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）要证 D合题意，只需证明 可，故连接 用弦切角的知识即可得证； （ 2）在 ，利用勾股定理即可得出 长，由（ 1）知， D入可得出 长 【解答】 （ 1）证明：连接 O 的切线 0 O 的直径 0