2016年河南省六市联考高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年河南省六市联考高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=0， 1， 2， B=x|x=2a， a A，则 AB 中元素的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2已知 =b+i（ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 3下列函数中既是奇函数又在区间， 1， 1上单调递减的是（ ） A y= y= |x+1| C D y= （ 2x+2 x） 4下列说法错误的是（ ） A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相关性越强 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D在回归分析中， 模型比 模型拟合的效果好 5在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯 A 2 B 3 C 5 D 6 6已知不重合的直线 m、 l 和平面 、 ， m ， l，则 是 “m l”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 7已知 x， y R，且满足 ，则 z=|x+2y|的最大值为（ ） A 10 B 8 C 6 D 3 8执行如图所示的程序框图，若输入 x=2，则输出 y 的值为（ ） A 23 B 11 C 5 D 2 9一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 10若定义在 R 上的函数 f（ x），满足 f（ x） = ，则 f=（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 11已知 f（ x） =1+ 若 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 a=b， 则 f（ B）的值为 （ ） A 2 B C 2 D 12已知抛物线 x，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点， M 为抛物线的准线与x 轴的交点， ，则 |（ ） A 4 B 8 C 16 D 18 二、填 空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13 | |=1， | |=2， ，且 ，则 与 的夹角为 _ 14已知 ，则 _ 15双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 倾斜角为 45的直线交双曲线右支于 M 点，若 直 x 轴，则双曲线的离心率为 _ 16定义在（ 0， +）上的函数 f（ x），总有 f（ x） f（ x） +立，且 f（ 2） =2，则不等式 f（ x） 2 的解集为 _ 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 17已知向量 =（ ）， =（ 2x+ ），函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若函数 f（ x）在 y 轴右侧的极大值点从小到大构成数列 试求数列 的前 n 项和 第 3 页（共 20 页） 18微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出边风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商），为了调查每天微信用户用微信的时间，就经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为 “微信控 ”，否则称其为 “非微信控 ”，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据 ，能够有 60%的把握认为 “微信控 ”与 “性别 ”有关？ （ 2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人，从这 5 人中随机抽取 3 人，赠送200 元的护肤套装，求这 3 人中 “微信控 ”的人数为 2 的概率 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ K2 9在如图所示的空 间几何体中，平面 平面 边长为 2 的等边三角形， ， 平面 成角为 60，且点 E 在平面 射影落在 （ 1）求证： 平面 2）求此空间几何体的体积 20已知椭圆 C： 2x2+6 （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）设 O 为原点，点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 x=4 上，且 =0，求直线 圆x2+7 所得弦长为 l 21已知 f（ x） = （ 1）求函数 y=f（ x）最值； （ 2）若 f（ =f（ 求证： x1+O 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 0， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 作 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F （ ） 当 0时，求 度数； （ ） 求 F 的值 第 4 页（共 20 页） 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的极坐标方程为 0，将曲线 （ 为参数）经过伸缩变换 后得到 1）求曲线 参数方程； （ 2）若点 M 在曲线 运动，试求出 M 到曲线 C 的距离 d 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 5| |x+a| （ 1）当 a=3 时，不等式 f（ x） k+2 的解集不是 R，求 k 的取值范围； （ 2）若不 等式 f（ x） 1 的解集为 x|x ，求 a 的值 第 5 页（共 20 页） 2016 年河南省六市联考高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=0， 1， 2， B=x|x=2a， a A，则 AB 中元素的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 有题目给出的已知条件，用列举法表示出集合 B，取交集运算后答 案可求 【解答】 解：由 A=0， 1， 2， B=x|x=2a， a A=0， 2， 4， 所以 AB=0， 1， 20， 2， 4=0， 2 所以 AB 中元素的个数为 2 故选 C 2已知 =b+i（ a， b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 先化简复数，再利用复数相等，解出 a、 b，可得结果 【解答】 解：由 得 a+2i=1，所以由复数相等的意义知 a= 1， b=2，所以 a+b=1 另解：由 得 =b+i（ a， b R），则 a=1， b=2， a+b=1 故选 B 3下列函数中既是奇函数又在区间， 1， 1上单调递减的是（ ） A y= y= |x+1| C D y= （ 2x+2 x） 【考点】 奇偶性与单调性的 综合 【分析】 判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可 【解答】 解： y=奇函数，但是， 1， 1上单调增函数 y= |x+1|不是奇函数， 对于 ，因为 f（ x） = = = f（ x），所以 是奇函数， 在 1， 1上单调减函数， y= （ 2x+2 x）是偶函数， 1， 1上单调递增 故选： C 4下列说法错误的是（ ） 第 6 页（共 20 页） A自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相关性越强 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D在回归分析中， 模型比 模型拟合的效果好 【考点】 相关系数 【分析】 A 根据相关关系的定义 ，判断命题 A 正确； B 线性回归分析的相关系数 r 的绝对值越接近 1，线性相关性越强，判断命题 B 错误； C 一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题 C 正确； D 用相关指数 画回归效果时， 值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题 D 正确 【解答】 解：对于 A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系， 命题 A 正确； 对于 B，线性回归分析中，相关系数 r 的绝对值越接近 1，两个变量的线性相关性越强， 反之， 线性相关性越弱， 命题 B 错误； 对于 C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高， 命题 C 正确； 对于 D，回归分析中，用相关指数 画回归效果时， 值越大说明模型拟合效果越好， 模型比 模型拟合效果好，命题 D 正确 故选： B 5在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣： “远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是 上一层的 2 倍，共有 381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯 A 2 B 3 C 5 D 6 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以 a 为首项，以 2 为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得 a 的方程，解方程可得 【解答】 解：设第七层有 a 盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数 构成一个以 a 为首项，以 2 为公比的等比数列， 由等比数列的求和公式可得 =381，解得 a=3， 顶层有 3 盏灯， 故选： B 6已知不重合的直线 m、 l 和平面 、 ， m ， l，则 是 “m l”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 m ， l， ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质可得： m ， m l反之不成立， 与 可能相交 【解答】 解： m ， l，则 m ， m l 第 7 页（共 20 页） 反之不成立， 与 可能相交 是 “m l”的充分不必要条件 故选： A 7已知 x， y R，且满足 ，则 z=|x+2y|的最大值为（ ） A 10 B 8 C 6 D 3 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式组 ，对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=|x+2y|， 平移直线 y= x+ z， 由图象可知 当直线 y= x z 经过点 A 时， z 取得最大值， 此时 z 最大 即 A（ 2， 2）， 代入目标函数 z=|x+2y|得 z=2 2+2=6 故选： C 8执行如图所示的程序框图，若输入 x=2，则输出 y 的值为（ ） A 23 B 11 C 5 D 2 【考点】 程序框图 第 8 页（共 20 页） 【分析】 由已知 中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， y=5，不满足输出条件，故 x=5， 再次执行循环体后， y=11，不满足输出条件，故 x=11， 再次执行循环体后， y=23，满足输出条件， 故输出的 y 值为 23， 故选： A 9一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和半圆锥的组合体， 其底面面积 S= =6+2， 由主（正）视图是一个等边三角形， 可得该几何体的高 h=2 ， 故该几何体的体积 V= = ， 故选： D 10若定义在 R 上的函数 f（ x），满足 f（ x） = ，则 f=（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 函数的值 【分析】 由分段函数的性 质得当 x 3 时满足 f（ x） = f（ x 3） =f（ x 6），周期为 6，从而 f=f（ 1） +f（ 0），由此能求出结果 【解答】 解： 定义在 R 上的函数 f（ x），满足 f（ x） = ， 第 9 页（共 20 页） f f f= f= f（ x 3） =f（ x 6），周期为 6， f=f（ 1） +f（ 0） =1 故选： C 11已知 f（ x） =1+ 若 内 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 a=b， 则 f（ B）的值为 （ ） A 2 B C 2 D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；余弦定理 【分析】 利用两角差的余弦公式将 f（ x）化简 f（ x） x+ ） +2 ，根据等腰三角形关系， 2A+C=，化简求得 B= ，代入求得， f（ B） =2 【解答】 解： f（ x） =1+ ， = ， = ， = x+ ） +2 ， ， 若 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 a=b， A=B， A+B+C=， 2A+C=， =0， 2， ， B= ， f（ B） =f（ ） = +2 =2， f（ B） =2， 故答案选： A 12已知抛物线 x，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A， B 两点， M 为抛物线的准 线与x 轴的交点， ，则 |（ ） A 4 B 8 C 16 D 18 【考点】 抛物线的简单性质 第 10 页（共 20 页） 【分析】 设 程 y=k（ x 1），与抛物线方程 x 联立，利用 ，建立 出 k，即可得出结论 【解答】 解：焦点 F（ 1， 0）， M（ 1， 0），设 程 y=k（ x 1）， 设 A（ B（ ， = ， 整理可得 2k（ = （ ）（ ） + *） y=k（ x 1），与 x 联立可得 2） x+ 可得 ， x1+2， 4 代入（ *）可得 2k（ = ， ， （ +2） 2 4=（ ） 2， k= ， x1+2=14， | =16 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上 . 13 | |=1， | |=2， ，且 ，则 与 的夹角为 120 【考点】 数量积表示两个向量的夹角 【分析】 根据 ，且 可得 进而求出 = 1 然后再代入向量的夹角公式 = 再结合 0， 即可求出 【解答】 解： ，且 （ ） =0 | |=1 = 1 | |=2 = = 第 11 页（共 20 页） 0， =120 故答案为 120 14已知 ，则 【考点】 二倍角的正弦；两角和与差的正切函数 【分析】 利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知等式的左边，得到关于 方程，求出方程的解得到 值，然后将所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，分母看做 “1”，利用同角三角函数间的基本关系化为 子分母同时除以 用同角三角函数间的基本关系弦化切 后，将 值代入即可求出值 【解答】 解： + ） = =2 即 =2 2 则 = = 故答案为： 15双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别是 倾斜角为 45的直线交双曲线右支于 M 点，若 直 x 轴，则双曲线的离心率为 +1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 将 x=c 代入双曲线方程求出点 M 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 a， b， 出离心率的值 【解答】 解：将 x=c 代入双曲线的方程 =1（ a 0， b 0）得 y= ， 即 M（ c， ） 在 =1 即 ，解得 e= = +1 故答案为： +1 第 12 页（共 20 页） 16定义在（ 0， +）上的函数 f（ x），总有 f（ x） f（ x） +立，且 f（ 2） =2，则不等式 f（ x） 2 的解集为 2， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由题意构造辅助函数 g（ x） =2，求导， g（ x） 0，函数单调递减， g（ x） 0，函数单调递增，求得 g（ x）的最小值，再构造辅助函数 h（ x） = ，求导，求得 h（ x） 0， h（ x）在（ 0， +）上递增，即 f（ x） 2，由 f（ 2） =2，得 h（ x） h（ 2），即可求得不等式的解集 【解答】 解：令 g（ x） =2，则 g（ x） =e ， g（ x）在（ 0， ）时， g（ x） 0； g（ x）在（ ， +）时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ， +）上单调递增， x （ 0， +）时， g（ x） g（ ） =0， 再令 h（ x） = ，则 h（ x） = = 0， h（ x）在（ 0， +）上递增， f（ x） 2，即 1， h（ x） h（ 2）， x 2， 解集为： 2， +）， 故答案为： 2， +） 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知向量 =（ ）， =（ 2x+ ），函数 f（ x） = （ 1）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若函数 f（ x）在 y 轴右侧的极大值点从小到大构成数列 试求数列 的前 n 项和 第 13 页（共 20 页） 【考点】 数列的求和；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）利用数量积运算性质可得： f（ x） = =，再利用正弦函数的单调性即可得出 （ 2）由（ 1）可得： f（ x）取得极大值时， 2x =2，解得 x=， k Z可得：+（ n 1） = n N*于是 =3 再利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ 1） f（ x） = = ， 由 +22x +2得 x +k Z， 函数 f（ x）的单调递增区间为 ， + k Z （ 2）由（ 1）可得： f（ x）取得极大值时， 2x =2，解得 x=， k Z ， +， ， +（ n 1） = n N* = =3 数列 的前 n 项和 +=3 = 18微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出边风靡全国，甚至 涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商），为了调查每天微信用户用微信的时间，就经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为 “微信控 ”，否则称其为 “非微信控 ”，调查结果如下： 微信控 非微信控 合计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 合计 56 44 100 （ 1）根据以上数据，能够有 60%的把握认为 “微信控 ”与 “性别 ”有关？ 第 14 页（共 20 页） （ 2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人，从这 5 人中随机抽取 3 人，赠送200 元的护肤套装，求 这 3 人中 “微信控 ”的人数为 2 的概率 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d 参考数据： P（ K2 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）利用列联表，计算 照数表得出概率结论； （ 2）确定基本事件数，求出对应的概率值 【解答 】 解：（ 1） 没有 60%的把握认为 “微信控 ”与 “性别 ”有关； （ 2）从这 5 人中随机抽取 3 人，所有可能结果有 0 种，这 3 人中 “微信控 ”的人数为 2，所有可能结果有 种， 这 3 人中 “微信控 ”的人数为 2 的概率为 = 19在如图所示的空间几何体中，平面 平面 边长为 2 的等边三角形， ， 平面 成角为 60，且点 E 在平面 射影落在 （ 1）求证： 平面 2）求此空间几何体的体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 O，连结 E 作 平面 F 在 可证四边形 平行四边形，于是 出 平面 （ 2）将几何体分解成两个三棱锥 E E 别计算小 三棱锥的体积即可 【解答】 证明：（ 1）取 中点 O，连结 边长为 2 的等边三角形， ， 平面 平面 面 面 C， 面 平面 过 E 作 平面 F 在 ， 0， ， ， F， 四边形 平行四边形， 第 15 页（共 20 页） 又 面 面 平面 （ 2） 平面 平面 面 面 C， 面 平面 平面 F= ， = =1 = =1 几何体体积 V=E 20已知椭圆 C： 2x2+6 （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）设 O 为原点，点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 x=4 上，且 =0，求直线 圆x2+7 所得弦长为 l 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）化椭圆方程为标准式，求出 a， b 的值，利用隐含条件求得 c，则椭圆离心率可求； （ 2）依题意设（ B（ 4， t），由 =0，把 B 的坐标用 A 的坐标表示，写出过A、 B 的点斜式方程，由点到直线的距离公式求出坐标原点 O 到 距离，再由垂径定理求得直线 圆 x2+7 所得弦长 【解答】 解：（ 1）由椭圆 C： 2x2+6，得 ， ，则 故椭圆 C 的离心率为 e= ； （ 2）设 A（ B（ 4， t）， ， 由 =0，得 ， 第 16 页（共 20 页） 根据点斜式得到直线 方程为： y t= ，化简得 （ t） x（ 4） y 4y0+ 原点 O 到 距离 d= 将 代入可得： d= = = = 在圆 x2+7 中，利用勾股定理可得 直线 圆 x2+7 所得弦长为 6 21已知 f（ x） = （ 1）求函数 y=f（ x）最值； （ 2）若 f（ =f（ 求证： x1+O 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出导函数，利用导函数得出函数的单调性，利用单调性判断函数的极值； （ ）根据函数的单调性，不妨设 知 0 用分析法逐步探究等 价命题，转化到证明（ x） f（ x） 0， x （ ， 0），利用构造法，通过导函数得出结论 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， 令 f（ x） = =0 得 x=0， 当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）递增； 当 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）递减； x=0 时， f（ x）取最大值 f（ 0） =1，无最小值 （ ）不妨设 由上可知 0 故要证 x1+0， 只需证 据 单调性， 只需证 f（ f（ 由 f（ =f（ 即证 f（ f（ 即 f（ f（ 0， 第 17 页（共 20 页） 下证 f（ x） f（ x） 0， x （ ， 0）， 设 g（ x） =f（ x） f（ x） = 1 x）， g（ x） =x（ ） 0， g（ x）在（ ， 0）上递增， g（ x） g（ 0） =0， f（ x） f（ x） 0， x1+0 选修 4 何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 0， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 作 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F （ ） 当 0时，求 度数； （ ） 求 F 的值 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）连结 题意知，