2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科） 一、填空题 1函数 的定义域是 _ 2已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数a=_ 3计算 =_ 4若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 =_ 5若复数 +4i， 2i，其中 i 是虚数单位，则复数 的虚部为 _ 6在 的展开式中，常数项是 _（用数字作答） 7已知 内角 A、 B、 C 所对应边的长度分别为 a、 b、 c，若 ，则角 C 的大小是 _ 8已知等比数列 各项均为正数，且满足： ，则数列 前 7 项之和为_ 9在极坐标系中曲线 C： =2的点到（ 1， ）距离的最大值为 _ 10袋中有 5 只大小相同的乒乓球，编号为 1 至 5，从袋中 随机抽取 3 只，若以 表示取到球中的最大号码，则 的数学期望是 _ 11已知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 P， M 在直线 ，且满足 ，则 =_ 12现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有 _ （用数字作答） 13若关于 x 的方程（ 4x+ ） |5x |=m 在（ 0， +）内恰有三个相异实根，则实数 _ 14课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理 （图 1），即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2），其体积等于 _ 第 2 页（共 18 页） 二、选择题 15下列函数中，既是奇函数，又在区间（ 0， +）上递增的是（ ） A y=2|x| B y= D 16已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 17设 x， y， z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ） A B C D |x y| |x z|+|y z| 18已知命题： “若 a， b 为异面直线，平面 过直线 a 且与直线 b 平行，则直线 b 与平面 的距离等于异面直线 a， b 之间的距离 ”为真命题根据上述命题，若 a， b 为异面直线，且它们之间的距离为 d，则空间中与 a， b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 的条数为（ ） A 0 条 B 1 条 C多于 1 条，但为有限条 D无数多条 三、解答题 19如图，底面是直角三角形的直三棱柱 ， ， D 是棱 （ 1）证明： （ 2）求三棱锥 C 体积 20某菜农有两段总长度为 20 米的篱笆 打算用它们和两面成直角的墙 N 围成一个如图所示的四边形菜园 设 两面墙都足够长）已知第 3 页（共 18 页） |10（米）， ， ，四边形 （ 1）将 S 表示为 的函数，并写出自变量 的取 值范围； （ 2）求出 S 的最大值，并指出此时所对应 的值 21已知函数 ，其中 a R （ 1）根据 a 的不同取值，讨论 f（ x）的奇偶性，并说明理由； （ 2）已知 a 0，函数 f（ x）的反函数为 f 1（ x），若函数 y=f（ x） +f 1（ x）在区间 1， 2上的最小值为 1+函数 f（ x）在区间 1， 2上的最大值 22已知椭圆 C： 的 焦距为 ，且右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三角形若直线 l 与椭圆 C 交于 A（ B（ 且在椭圆 C 上存在点M，使得： （其中 O 为坐标原点），则称直线 l 具有性质 H （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 l 垂直于 x 轴，且具有性质 H，求直线 l 的方程； （ 3）求证：在椭圆 C 上不存在三个不同的点 P、 Q、 R，使得直线 具有性质 H 23已知数列 足： ，且对一切 n N*，均有 （ 1）求证：数列 为等差数列，并求数列 通项公式； （ 2）若 =2，求数列 前 n 项和 （ 3）设 ，记数列 前 n 项和为 ：是否存在正整数 ，对一切 n N*，均有 成立若存在，求出所有正整数 的值；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 18 页） 2016 年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题 1函数 的定义域是 x|x 2 且 x 1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示 【解答】 解：由题意，要使函数有意义，则 ， 解得， x 1 且 x 2； 故函数的定义域为： x|x 2 且 x 1， 故答案为： x|x 2 且 x 1 2已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数a= 2 【考点】 线性方程组解的存在性，唯一性 【分析】 由已知得 ，把 x= 1， y=2，能求出 a 的值 【解答】 解： 线性方程组的增广矩阵为 ，该线性方程组的解为 ， ， 把 x= 1， y=2，代入得 a+6=4，解得 a=2 故答案为： 2 3计算 = 【考点】 数列的极限 【分析】 将 1+2+3+n= 的形式，在利用洛必达法则，求极限值 【解答】 解：原式 = = = = 故答案为： 第 5 页（共 18 页） 4若向量 ， 满足 且 与 的夹角为 ，则 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据 可得答案 【解答】 解： 且 与 的夹角为 =7 则 = 故答案为： 5若复数 +4i， 2i，其中 i 是虚数单位，则复数 的虚 部为 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： +4i， 2i， ， ， = = ， 复数 的虚部为 3 故答案为： 3 6在 的展开式中，常数项是 15 （用数字作答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项 【解答】 解： 在 的展开式的通项公式为 = （ 1） r ， 令 r 6=0，求得 r=4，故 的展开式中的常数项是 5 故答案为： 15 7已知 内角 A、 B、 C 所对应边的长度分别为 a、 b、 c，若 ，则角 C 的大小是 【考点】 二阶行列式的定义 第 6 页（共 18 页） 【分析】 由二阶行列式性质得 a2+c2=此利用余弦定理求出 ，从而能求出角 C 的大小 【解答】 解： 内角 A、 B、 C 所对应边的长度分别为 a、 b、 c， ， b2+ a2+c2= = = ， C 是 内角， C= 故答案为： 8已知等比数列 各项均为正数，且满足： ，则数列 前 7 项之和为 7 【考点】 等比数列的性质 【分析】 由等比数列的性质可得： ，再利用指数与对数的运算性质即可得出 【解答】 解：由等比数列的性质可得： =4， 数列 前 7 项和 =+=， 故答案为： 7 9在极坐标系中曲线 C： =2的点到（ 1， ）距离的最大值为 3 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（ 1， ）的距离，进而得出最大值 【解答】 解：曲线 C： =2 2=2为直角坐标方程： x2+x， 配方为：（ x 1） 2+，可得圆心 C（ 1， 0），半径 r=1 点 P（ 1， ）化为直角坐标 P（ 1， 0） |2， 曲线 C： =2的点到（ 1， ）距离的最大值 =2+1=3 故答案为： 3 10袋中有 5 只大小相同的乒乓球，编号为 1 至 5，从袋中随机抽取 3 只，若以 表示取到球中的最大号码，则 的数学期望是 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 由已知得 的可能取值为 3， 4， 5，分别求出相应的概率，由此能求出 E（ ） 【解答】 解：由已知得 的可能取值为 3， 4， 5， P（ =3） = = ， 第 7 页（共 18 页） P（ =4） = = ， P（ =5） = = ， E（ ） = = 故答案为： 11已知双曲线 的右焦点为 F，过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 P， M 在直线 ，且满足 ，则 = 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b， c，可得 F（ ， 0），渐近线方程为 y= 2x，设过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线为 y=2（ x ）， 代入双曲线的方程可得 P 的坐标，由两直线垂直的条件可得直线 方程，联立直线 y=2（ x ），求得 M 的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 的 a=1， b=2， c= = ， 可得 F（ ， 0），渐近线方程为 y= 2x， 设过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线为 y=2（ x ）， 代入双曲线的方程，可得 x= ， 可得 P（ ， ）， 由直线 y= x 和直线 y=2（ x ），可得 M（ ， ）， 即有 = = 故答案为： 12现有 5 位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单 独带队，则不同的带队方案有 54 （用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 第 8 页（共 18 页） 【分析】 根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可 【解答】 解：当甲，乙带不同班时： =36 种； 当甲，乙带相同班时， =18 种； 故共有 54 中， 故答案为： 54 13若关于 x 的方程（ 4x+ ） |5x |=m 在（ 0， +）内恰有三个相异实根，则实数 （ 6， ） 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【分析】 分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得 【解答】 解：当 x 时， 5x 0， 方程（ 4x+ ） |5x |=m， （ 4x+ ）（ 5x ） =m，即 x+ =m； m 当 0 x 时， 5x 0， 方程（ 4x+ ） |5x |=m， （ 4x+ ） +（ 5x ） =m， 即 9x+ =m； 9x+ 6； 当 m 6 时，方程 9x+ =m 无解； 当 m=6 时，方程 9x+ =m 有且只有一个解； 当 6 m 10 时，方程 9x+ =m 在（ 0， 1）上有两个解； 当 m=10 时，方程 9x+ =m 的解为 1， ； 第 9 页（共 18 页） 综上所述，实数 m 的取值范围为（ 6， ） 故答案为：（ 6， ） 14课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法祖暅原理也可用来求旋转体的体积现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图 1），即可求 得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为 ，将此椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图 2），其体积等于 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的 2 倍 【解答】 解：椭圆的长半轴为 5，短半轴为 2， 现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥， 根据祖暅原理得出椭球的体积 V=2（ V 圆柱 V 圆锥 ） =2（ 22 5 ） = 故答案为： 二、选择题 15下列函数中，既是奇函数，又在区间（ 0， +）上递增的是（ ） A y=2|x| B y= D 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可 【解答】 解： A函数 y=2|x|为偶函数，不满足条件 B函数的定义域为（ 0， +），函数为非奇非偶函数，不满足条件 C. 是奇函数，在（ 0， +）上递增，满足条件 D. 是奇函数，当 0 x 1 时函数为减函数，当 x 1 时函数为增函数，不满足条件 第 10 页（共 18 页） 故选： C 16已知直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 “ ”，可得 0 ， “ ”；反之不成立， 可能为钝角 【解答】 解： “ ”0 “ ”； 反之不成立， 可能为钝角 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 故选： A 17设 x， y， z 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ） A B C D |x y| |x z|+|y z| 【考点】 基本不等式 【分析】 A x， y，是互不相等的正数，令 t=x+ 2，可得： =t 2=（ t 2）（ t+1） 0，即可判断出真假； B. = ，即可判断出真假 C取 x=1， y=2，即可判断出真假； D |x y|=|（ x z） +（ z y） | |x z|+|y z|，即可判断出真假 【解答】 解： A x， y， 是互不相等的正数，令 t=x+ 2， =t 2=（ t 2）（ t+1） 0，正确； B ， = 0， ，正确 C取 x=1， y=2，则 |x y|+ =1 1=0 2，因此不正确； D |x y|=|（ x z） +（ z y） | |x z|+|y z|，正确 故选： C 18已知命题： “若 a， b 为异面直线，平面 过直线 a 且与直线 b 平行 ，则直线 b 与平面 的距离等于异面直线 a， b 之间的距离 ”为真命题根据上述命题，若 a， b 为异面直线，且它们之间的距离为 d，则空间中与 a， b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 的条数为（ ） 第 11 页（共 18 页） A 0 条 B 1 条 C多于 1 条，但为有限条 D无数多条 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 如图所示，给出一个平行六面体 AD=a， b，假设平行平面 间的距离为 d若平面 a，平面 b，且满足它们之间的距离等于 d，其交线 足条 件把满足平面 a，平面 b，且它们之间的距离等于 d 的两个平面旋转，则所有的交线 满足条件，即可判断出结论 【解答】 解：如图所示，给出一个平行六面体 取 AD=a， b，假设平行平面 间的距离为 d 平面 a，平面 b，且满足它们之间的距离等于 d，其交线 足与 a，b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 把满足平面 a，平面 b，且它们之间的距离等于 d 的两个平面旋转，则所 有的交线 满足与 a， b 均异面且距离也均为 d 的直线 c 因此满足条件的直线有无数条 故选： D 三、解答题 19如图，底面是直角三角形的直三棱柱 ， ， D 是棱 （ 1）证明： （ 2）求三棱锥 C 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1） 由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得 平面一步得到 第 12 页（共 18 页） （ 2）利用等积法，把三棱锥 C 体积转化为三棱锥 B 体积求解 【解答】 （ 1）证明：如图， 直三棱柱 ， 平面 底面 面 底面 面 面 C， 由 ，且 C，得 平面 （ 2）解：由（ 1）知， 平 面 ， ， 则 = 20某菜农有两段总长度为 20 米的篱笆 打算用它们和两面成直角的墙 N 围成一个如图所示的四边形菜园 设 两面墙都足够长）已知|10（米）， ， ，四边形 （ 1）将 S 表示为 的函数，并写出自变量 的取值范围； （ 2）求出 S 的最大值，并指出此时所对应 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）在三角 ，由正弦定理，得： ，得 0（ 再利用三角形面积计算公式即可得出 （ 2）由（ 1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出 第 13 页（共 18 页） 【解答】 解：（ 1）在三角 ，由正弦定理，得： ，得 0（ 所以， S= =100（ （ 2） S=100（ =50（ 2 =50（ ） = ， 所以 S 的最大值为： 50 +50， = 21已知函数 ，其中 a R （ 1）根据 a 的不同取值，讨论 f（ x）的奇偶性，并说明理由； （ 2）已知 a 0，函数 f（ x）的反函数为 f 1（ x），若函数 y=f（ x） +f 1（ x）在区 间 1， 2上的最小值为 1+函数 f（ x）在区间 1， 2上的最大值 【考点】 函数的最值及其几何意义；反函数 【分析】 （ 1）由 得 f（ x） = ax+2x+1） x，从而可得当a= 时函数为偶函数； （ 2）可判断 与 f 1（ x）都是增函数，从而可得 f（ 1） +f 1（ 1） =1+而解出 a 【解答】 解：（ 1） ， f（ x） = ax+2 x+1） = ax+2x+1） ax+2x+1） x， f（ x） =f（ x）， 即 x= 故 a= ；此时函数为偶函数， 若 a ，函数为非奇非偶函数； （ 2） a 0， 单调递增， 又 函数 f（ x） 的反函数为 f 1（ x）， f 1（ x）单调递增； f（ 1） +f 1（ 1） =1+ 第 14 页（共 18 页） 即 a+f 1（ 1） =1+ 故 f 1（ 1） =1 a， 即 a（ 1 a） +2a 1+1） =1， 解得， a=1； 故 f（ 2） =2+ 22已知椭圆 C： 的焦距为 ，且右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三角形若直线 l 与椭圆 C 交于 A（ B（ 且 在椭圆 C 上存在点M，使得： （其中 O 为坐标原点），则称直线 l 具有性质 H （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若直线 l 垂直于 x 轴，且具有性质 H，求直线 l 的方程； （ 3）求证：在椭圆 C 上不存在三个不同的点 P、 Q、 R，使得直线 具有性质 H 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由椭圆的焦距为 ，右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出 a，b，由此能求出椭圆 C 的 方程 （ 2）设直线 l： x=t，（ 2 t 2），则 A（ t， B（ t， 设 M（ 求出 ，= ，由点 M 在椭圆 C 上，能求出直线 l 的方程 （ 3）假设在椭圆 C 上存在三个不同的点 P（ Q（ R（ 使得直线具有性质 H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆 C 上不存在三 个不同的点 P、 Q、 R，使得直线 具有性质 H 【解答】 解：（ 1） 椭圆 C： 的焦距为 ， c= ， 右焦点 F 与短轴的两个端点组成一个正三角形， c= ，解得 b=1， a2=b2+， 椭圆 C 的方程为 （ 2）设直 线 l： x=t，（ 2 t 2），则 A（ t， B（ t， 其中 足： ， y1+， 设 M（ （其中 O 为坐标原点）， ， = ， 点 M 在椭圆 C 上， ， 49 00， t= ， 第 15 页（共 18 页） 直线 l 的方程为 x= 或 x= 证明：（ 3）假设在椭圆 C 上存在三个不同的点 P（ Q（ R（ 使得直线 具有性质 H， 直线 有性质 H， 在椭圆 C 上存在点 M，使得： ， 设 M（ 则 ， ， 点 M 在椭圆