2020高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数在证明恒等式中的应用拓展资料素材 北师大版选修1-1VIP

拓展资料：导数在证明恒等式中的应用一、预备知识定理1 若函数f(x)在区间I上可导，且xI，有f(x)0，则xI，有f(x)c(常数)证明 在区间I上取定一点x0及xI显然，函数f(x)在x0，x或x，x0上满足拉格朗日定理，有f(x)f(x0)f()(xx0)，在x与x0之间已知f()0，从f(x)f(x0)0 或 f(x)f(x0)设f(x0)c，即xI，有f(x)c定理2 若xI(区间)，有f(x)g(x)，则xI，有f(x)g(x)c，其中c是常数二、应用例题证法 f(x)arcsinxarccosx，在(1，1)上是常值函数证明 设f(x)arcsinxarccosx，x(1，1)，有f(x)(arcsinxarccosx)由定理1知，f(x)c，即arcsinxarccosxc其中c是常数证明 设f(x)arctanxarccotx，cR，有由定理1知，arctanxarccotxc，其中c是常数例3 证明：arccos(x)arccosx，x1，1证明 设f(x)arccos(x)arccosx，x1，1，于是 f(x)(arccos(x)arccosx)由定理1知，arccos(x)arccosxc，其中c是常数令x1，则carccos(1)arccos1，于是 arccos(x)arccosxx(1，)有例5 证明：sin(3arcsinx)cos(3arccosx)0，x1，1证明 设f(x)sin(3arcsinx)cos(3arccosx)，则x1，1，有f(x)(sin(3arcsinx)cos(3arccosx)由定理1知，sin(3arcsinx)cos(3arccosx)c，其中c是常数令x1，则csin(3arcsin(1)cos(3arccos(1)0于是， x1，1，有sin(3arcsinx)cos(3arccosx)0于是， x0，1，有证明 xR，有即xR，有与 g(x)0从而f(x)g(x)，由定理1知，f(x)g(x)c与 g(x)1从而，f(x)g(x)，由定理1知，f(x)g(x)c从而，c0于是，解 设F(x)f1(x)f2(x)由定理1知， xR(x1)，有(2) x(1，1)，令x0，则于是，例11 求证：logaxylogaxlogay，其中x0，y0证明 将a，y看作固定常数，x看作变量，设f(x)logaxylogaxlogay，x(0，)则x(0，)，有由定理1知，(x)c 或 logaxylogaxlogayc令x1，则clogaylogay0，从而 logaxylogaxlogay0，即 logaxylogaxlogay例12 求xR，满足等式acosxcos(axb2)a1b2的所有实数对(a，b)全体，解 设f(x)acosxcos(axb2)，xR，要使xR，有f(x)a1b2(常数)，则根据定理1， xR，应有f(x)0，即f(x)asinxasin(axb2)(1)a0，由题设等式知，cosb21b2 或 cosb21b2解得b0，所以求得符合要求的一个实数对为(0，0)(a1)xb22k 或 (a1)x2kb2，kZ解得a1，b22k，并代入题设等式，有cosxcos(x2k)2k，并且仅当k0，上式才成立，从而b0，所以求得符合要求的实数对为(1，0)，(a1)xb2(2k1)，kZ解得a1，b2(2k1)，并代入题设等式，有cosxcos(2k1)x2b2，即 2b20，显然，这样的b不存在综上所述，所求实数对的集合为(0，0)，(1，0)例14 证明： x，yRsin(xy)sinxcosycosxsiny，cos(xy)cosxcosysinxsiny证明 设f(x，y)sin(xy)sinxcosycosxsiny，g(x，y)cos(xy)cosxcosysinxsiny只须证明f(x，y)g(x，y)0即可用反证法假设f(x，y)0，由于fx(x，y)cos(xy)cosxcosysinxsinyg(x，y)，fy(x，y)cos(xy)sinxsinycosxcosyg(x，y)，则 df(x，y)fx(x，y)dxfy(x，y)dyg(x，y)d(xy)， (3)同理，dg(x，y)f(x，y)d(xy) (4)由(3)与(4)，得或 g(x，y)dg(x，y)f(x，y)df(x，y)，从而 f2(x，y)g2(x，y)c由假设f(x，y)0，则c为不等零的常数令xy0，代入上式，有f2(0，0)g2(0，0)0，这与c0矛盾于是，f(x，y)0，由(3)式知，g(x，y)0例15 已知x2k，kZ求证：证明 已知对上式两端同时求导，有类似可证：已知x2k，kZ，求证：例16 证明：2sinxcosx4sin2xcos2x2nsinnxcosnx证明 已知对上式两端求导，得2sinxcosx4sin2xcos2x2nsinnxcosnx注 欲证等式的左端2sinxcosx4sin2xcos2x2nsinnxcosnx恰为 sin2xsin22xsin2nx的导函数，所以证明开始应用了公式例17 已知证明 对已知等式取自然对数，有对上式两端求导，有对上式两端求导，得令x1，则令x1，则例19