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文档简介
上海市曹杨二中2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)一.填空题:1.在空间中,若直线与无公共点,则直线的位置关系是_;【答案】平行或异面【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断【详解】与无公共点,与可能平行,可能异面。【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断,解题时要认真审题,注意空间思维的培养,属基础题。2.两个球的体积之比为8 :27,则这两个球的表面积之比为_【答案】【解析】试题分析:设两球半径分别为,由可得,所以即两球的表面积之比为考点:球的表面积,体积公式3.若正方体中,异面直线和所成角的大小为_;【答案】【解析】【分析】根据题意,所以平面,根据面面垂直的性质定理可得,即可求和所成的角。【详解】如图,连接,因为正方体,所以,又正方形ABCD,所以,所以平面,所以,即和成角为【点睛】本题考查线线垂直的判定及性质定理,考查学生的空间想象能力,属基础题。4.若圆柱的轴截面面积为2,则其侧面积为_;【答案】【解析】【分析】根据题意得圆柱的轴截面为底边为,高为的矩形,根据几何性质即可求解。【详解】设圆柱的底面圆半径为,高为,由题意知,圆柱的轴截面为底边为,高为的矩形,所以,即。所以侧面积。【点睛】本题考查圆柱的几何性质,表面积的求法,属基础题5.正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,则其体积为_;【答案】【解析】【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离,结合棱长,求出正四棱锥的高,然后利用体积公式进行求解。【详解】如图,正四棱锥P-ABCD中,AB=4,PA=3,设正四棱锥的高为PO,连接AO,则在直角三角形中,所以,故答案为。【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式,解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质,属基础题6.若增广矩阵对应的线性方程组为无穷多解,则实数的值为_;【答案】【解析】【分析】将原方程组写成Ax=b,其中A为方阵,x为2个变量构成列向量,b为2个常数项构成列向量,当它的系数矩阵D奇异时,或者说行列式D=0时,方程组有无数个解或无解,由此求得a的值。【详解】因为系数矩阵D奇异时,或者说行列式D=0时,方程组有无数个解或无解所以行列式D=0,即 =0所以。【点睛】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的含义,属基础题。7.有一列正方体,它们的棱长组成以1位首项,为公比的等比数列,设它们的体积依次为,则=_;【答案】【解析】【分析】由题意得,棱长满足,体积,结合等比数列的求和公式即可求解。【详解】由题意可得,正方体的棱长满足的通项公式记为,则。所以体积,是以1为首项,为公比的等比数列。则 ,故答案为。【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式,考查学生分析推理,计算化简的能力,考查了极限思想和数形结合思想,属中档题。8.已知,用斜二测画法作它的直观图,若是斜边平行于铀的等腰直角三角形,则是_三角形(填“锐角”.“直角”.“钝角”).【答案】直角【解析】【分析】根据斜二测画法,直接判断的形状。【详解】如图所示,且,将还原可得,所以,所以为直角三角形。【点睛】本题考查斜二测画法中直观图的还原,属基础题。9.在北纬45圈上有甲.乙两地,它们的经度差90,则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为_;【答案】【解析】【分析】根据题意求出AB两点间的距离,可得,即球心角为,由弧长公式可得甲乙两地的球面距离为,即可得结果。【详解】设在北纬45的纬线圈的圆心为C,球心为O,连接OA、OB、OC、AC、BC,则平面,在中,同理。因为A、B两地经度差为,所以,在中,由此可得是边长为R的等边三角形,即,所以A、B两地的球面距离为,所以甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为。【点睛】本题由实际问题入手,考查球面距离问题,关键是求球心O与A、B两点连线的夹角的大小,可利用纬线长,纬度,两点所在的经度计算AB的长度,再根据几何性质进行求解,得到的大小,结合弧长公式,即可求解,属中档题。10.如图,求一个棱长为的正四面体的体积,可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到,类比这种方法,一个三对棱长相等的四面体,其三对棱长分别为,则此四面体的体积为_;【答案】2【解析】【分析】设四面体所在的长方体棱长分别为a,b,c,则长方体的面对角线长为、,利用勾股定理列出方程组,求出a,b,c的值,长方体截去四个角,即可求出四面体的体积。【详解】设四面体所在的长方体棱长分别为a,b,c,则,解得,所以四面体的体积,故答案为2.【点睛】本题运用类比的方法,考查锥体的体积求法,考查学生逻辑推理,计算化简的能力,难点在于根据题意,类比出四面体体积的求法,即长方体截去四个角后得到的体积,属基础题。11.已知平面截一球面得圆,过圆心且与平面呈45二面角的平面截该球面得圆,若球的半径为4,圆的面积为12,则圆的面积为_;【答案】14【解析】【分析】由圆M的面积可得圆M的半径,通过勾股定理,可得O到圆M的距离,由题意得,可得ON长,即可求出圆N的半径,代入公式,可得结果。【详解】由题意知,圆M的面积为,所以圆M的半径为,又因为球的半径为4,所以球心O到圆M的距离=,所以,所以圆N的半径为所以圆N的面积,故答案为。【点睛】本题考查球内点、线、面的位置关系,难点在于找到OM与ON之间的关系,考查学生空间想象,分析计算能力,属基础题12.如图,棱长为3的正方体的顶点在平面上,三条棱都在平面的同侧,如顶点到平面的距离分别为,则顶点到平面的距离为_;【答案】【解析】【分析】连接BC,CD,BD,则四面体为直角四面体,即已知直角四面体的三个顶点A,B,C到平面的距离分别为0,1,求D点到平面的距离,结合几何性质,即可进行求解。【详解】如图,连接BC,CD,BD,则四面体为直角四面体,做平面的法线AH,再做 平面于,平面于,平面 于,连接,设AH=h,DA=a,DB=b,DC=c,由等体积可得,所以,令,,可得,设,因为,所以,所以,即点D到平面的距离为。【点睛】本题中正方体的位置特殊,难以下手,突破点在于正方体的8个顶点中,有关系的只有4个,这4个点组成直角四面体,再进行求解。本题考查锥体体积的求法,考查分析、推理、化简、计算、空间想象的能力,属中档题。二.选择题13.“直线垂直于的边,”是“直线垂直于的边”的 ( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析:由直线垂直于的边,可得 ,反之不成立考点:线面垂直的判定与性质14.如果三棱锥的底面不是等边三角形,两组对棱互相垂直,且顶点在底面的射影在内,那么是的()A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心【答案】C【解析】【分析】由题意知,根据线面垂直的判定定理可得平面,即,即为AB边上的高,同理可得AH为BC边上的高,即可得答案。【详解】如图所示,两组对棱互相垂直,不妨设, ,连接CO,并延长,交AB于M,连接AO,并延长,交BC于H。因为O为S在底面的射影,所以平面ABC,所以,所以平面,所以,即为AB边上的高,同理,AH为BC边上的高,所以O为两高线的交点,即O为的垂心,故选C【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理,考查学生空间想象能力,属基础题。15.底面是正三角形,且每个侧面是等腰三角形的三棱锥()A. 一定是正三棱锥B. 一定是正四面体C. 不是斜三棱锥D. 可能是斜三棱锥【答案】D【解析】【分析】侧面是等腰三角形,可能是底面边长和一条侧棱相等,分析选项,即可得结果。【详解】底面是正三角形,且每个侧面都是等腰三角形的三棱锥中,有可能是底面边长和一条侧棱相等,所以该棱锥可能是斜三棱锥,故选D。【点睛】本题考查三棱锥的概念,解题时要认真审题,熟练掌握三棱锥的结构特征,属基础题。16.在正方体中,点(异于点)是棱上一点,则满足与,所成的角为45的点的个数为()A. 0B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】建立空间坐标系,通过分类讨论,利用向量法求异面直线所成的夹角,即可找出满足条件的点P的个数。【详解】如图建立坐标系,不妨设棱长,则,在中,因此。同理, , 与成角都为。故当P位于棱, , 上时,与所成角都为,故不满足条件。当点P位于棱AD上时,设,则,若,满足于所成角为,则,即,无正数解(舍),同理当P位于上时,也不符合题意。当P位于棱上时,设,则,若满足于所成角为,则,即,因为,所以,满足条件,此时。同理可求得棱上一点,棱上一点也满足题意,其它棱上没有满足条件的点P。综上,满足条件的P点共有3个,故选B【点睛】本题考查线线角的求法,即求两条直线方向向量夹角,通过推理分析,即可求解,计算难度较大,属中档题。三.解答题:17.如图,在棱长为的正方体中,是棱的中点.(1)求三棱锥的体积;(2)求异面直线与所成角大小.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由等体积法可得,因为,又平面,代入公式即可求解。(2)因为,所以异面直线与所成角即为直线与直线所成角,即,根据条件,可求、的长,结合三角函数即可求解。【详解】解:(1)因为,并且平面,所以(2)因为,所以异面直线与所成角为直线与直线所成角,即,因为,所以,所以,所以,即异面直线与所成角为.【点睛】本题考查等体积法求棱锥体积,线线角的求法,考查计算推理,空间想象的能力,属基础题。18.如图,某甜品创作一种冰淇淋,其上半部分呈半球形,下半部分呈圆锥形,现把半径为的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)。(1)这种蛋筒的表面积;(2)若要制作500个这样的蛋筒,需要多少升冰淇淋?(精确到0.1L)【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由题意可知圆锥的母线,又,可求得圆锥半径r,结合球的表面积公式,即可求解。(2)由(1)知圆锥的高度为,结合体积公式,可求得冰淇淋体积。【详解】解:(1)由题意可知圆锥的母线,所以并且,所以,所以(2)由(1)知圆锥的高度为,所以该冰淇淋的体积为所以【点睛】本题由生活中遇到的实际问题入手,考查圆锥、球的体积与表面积的求法,激发学生的学习兴趣,培养学生解决实际问题的能力,属基础题。19.如图,已知为四面体内一点,且满足:点与四面体任一顶点的连线均垂直其余三个顶点所确定的平面,设.(1)求证:;(2)若,求证:,为正四面体,并求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)利用分析法,要证,即证,根据线面垂直的性质定理,即可得证。(2)根据(1)结论及数量积公式,可得,所以,所以.同理可得,所以为正四面体。设,求出、的长,结合三角函数及勾股定理可得结果。【详解】(1)要证,即证,即证.因为垂直平面, 所以,故等式得证.(2)根据(1)的证明可证,即,因为,所以,所以,所以.同理可得.所以底边是等边三角形.同理可得,即四面体的每条棱都相等,所以为正四面体.设,延长交平面于H点,所以即为直线与平面所成的角.连接与交于E点,因为为正四面体,所以,所以,进而,所以,在中,解得,所以,所以,所以,即直线与平面所成角的大小为.【点睛】本题由向量关系入手,考查分析法证明、向量的数量积公式、线面垂直的性质定理、几何法求解线面角等知识,考查学生计算化简,分析证明,逻辑推理的能力,属中档题。20.如图,在四棱柱中,侧棱底面,且点和分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)【解析】如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,又因为分别为和的中点,得.()证明:依题意,可得为平面的一个法向量,由此可得,又因为直线平面,所以平面(),设为平面的法向量,则,即,不妨设,可得,设为平面的一个法向量,则,又,得,不妨设,可得因此有,于是,所以二面角的正弦值为.()依题意,可设,其中,则,从而,又为平面的一个法向量,由已知得,整理得,又因为,解得,所以线段的长为.考点:直线和平面平行和垂直的判定与性质,二面角、直线与平面所成的角,空间向量的应用.21.如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等,那么我们称它们是一对:“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱,圆柱的表面积与高分别记为与.(1)若,求的值.(2)若,求证:;(3)求实数的取值范围,使得存在一对“等积四棱圆柱”,满足与【答案】(1);(2)见解析;(3)【解析】【分析】(1)设正四棱柱的底面边长为,圆柱
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