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主应力法,参考书：金属塑性成形原理，俞汉青，机械工业出版社，2012,金属塑性成形理论的主要任务之一就是确定各种成形工序所需的变形力；变形力是指在塑性加工过程中，工具对坯料所施加的使之发生塑性变形的作用力。变形力是正确设计模具、选择设备和制定工艺规程的重要参数。求解变形体（毛坯）内部的应力大小及分布。需联解平衡微分方程、塑性条件、几何方程和本构方程。主应力法是在简化平衡微分方程和塑性条件基础上建立起来的计算方法。主应力法（工程法），能近似解平面应力、应变和轴对称。,约束条件（16个基本方程）三个应力平衡微分方程六个应变连续几何方程六个本构方程（应力应变关系）一个屈服准则16个未知数：6个应力分量6个应变分量3个位移分量比例系数d,1塑性成形问题的数学解析法,（1）塑性成形求解问题,应力平衡微分方程：,应变几何方程:,本构方程,屈服准则,或者,对于刚塑性材料还需满足体积不变条件,注：若未知量的个数多于独立平衡方程的个数，则为静不定问题；若未知量的个数等于或少于独立平衡方程的个数未知量全部可由独立平衡方程求得，则为静定问题。,2主应力法的基本原理,以均匀塑性变形假设为前提，将偏微分应力平衡方程简化为常微分方程，将密塞斯屈服准则二次方程简化为线性方程，最后归结为求解一阶常微分应力平衡方程问题。可以求解变形力和变形功，但是无法求出变形体内的应力分布。,求解原理工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，常用单位压力表示S工作面积，按“工作面投影代替力的投影”法则求解,求解要点工程法是一种近似解析法，通过对物体应力状态作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。这些简化和假设如下：1把实际变形过程视具体情况的不同看作是平面应变问题和轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。2假设变形体内的应力分布是均匀的，仅是一个坐标的函数。这样就可获得近似的应力平衡微分方程，或直接在变形区内截取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由此建立该单元体的应力平衡微分方程为常微分方程。,采用近似的塑性条件。工程法把接触面上的正应力假定为主应力，忽略切应力和摩擦切应力，将二次方程简化为线性方程。对于平面应变问题，塑性条件简化为：或对于轴对称问题，塑性条件可简化为,简化接触面上的摩擦。采用以下二种近似关系库仑摩擦定律：（滑动摩擦）常摩擦定律：（粘着摩擦）式中：摩擦应力k屈服切应力（）正应力摩擦系数其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为均质和各向同性等。,（1）长矩形板镦粗问题的求解（滑动摩擦，直角坐标系）设矩形板的长度,高度,宽度分别为:l,h,b;且l远大于h,b,近似地认为矩形板沿长度方向的变形为零（最小阻力流动原理）。1）切取单元体设Z轴方向的变形为零,切取宽度为dx、长度为l的单元体,长矩形板镦粗问题及作用在单元体上的应力分量,3镦粗的主应力法分析,2）列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力平衡方程为:,2）列出单元体的静力平衡方程，单元体沿x方向的静力平衡方程为:整理得:应力平衡方程化为了常微分方程3）代入摩擦条件假设接触表面上的摩擦切应力服从库仑摩擦定律,式中，p为工具作用在长矩形板上的单位压力，为摩擦系数得:4）引用屈服准则设工具作用在变形体上的单位压力p为正值,则y方向上的压缩应力,根据平面应变状态的密塞斯屈服准则得:对上式微分得:整理得:5）积分并确定积分常数对上式积分得:根据应力边界条件定积分常数,当x=b/2时,x=0,得:,6）求变形力P7）求平均压力8）变形功w设矩形板变形前的高度为h0、变形后的高度为h1，在变形的某一瞬时，矩形板高度为h，变形体体积为V,在变形力P作用下，高度发生变化dh，则变形功为:,15,得:由体积不变条件可得:,(2)圆柱体镦粗问题,采用圆柱坐标(r,z),设h为圆柱体的高度，R为半径，r为径向正应力，为子午面上的正应力，f为接触表面上的摩擦切应力。从变形体中切取一高度为h、厚度为dr、中心角为d的单元体,单元体径向的静力平衡方程:,单元体径向的静力平衡方程:整理得:在均匀变形条件下，圆柱体压缩时产生的径向应变为:周向应变:即:由应力应变关系式可得:整理得到:,设:得:式中，p为工具作用在圆柱体上的单位压力设z为压缩应力,有由屈服准则得:对上式微分得:整理得:积分得:,利用应力边界条件:r=R时,得到:及变形力:平均压力:,4圆筒件拉深的主应力法分析1板料大多数是一个板面与模具接触，另一个板面为自由表面，厚向应力很小，多可作平面应力问题处理；2板料成形大多数在室温下进行，因此必须考虑材料加工硬化，因此往往需要真实应力-应变曲线来表达；3板料成形过程厚度是变化的，但为了简化问题，求解过程中忽略材料厚度变化；4必要时需要考虑板料的各向异性,4圆筒件拉深的主应力法分析拉深也称拉延，是利用拉伸模具将一定形状的平板毛坯制成各种形状的开口空心零件的冲压工艺方法。1拉深过程的变形特点,板料拉深时的变形特点,圆筒件的拉深,2变形区的应力应变分析1、凸缘变形区的应力分布,凸缘变形