吉林省长白山一高2020上高中数学 第三章综合能力检测 新人教A版选修2-1

第三章综合能力检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中的真命题有()与是一对相反向量与是一对相反向量与是一对相反向量与是一对相反向量A1个B2个C3个 D4个2若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是()A(ab)c(bc)aBab|a|b|，则abCacbc，则abDaabb，则ab3四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相交 B垂直C不垂直 D成60角4已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DBAC，DCAB，则点D的坐标为()A(1,1,1)B(1,1,1)或(1，1，1)C(，)D(，)或(1，1,1)5下面命题中，正确命题的个数为()若n1、n2分别是平面、的法向量，则n1n2；若n1、n2分别是平面、的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，b、c是内两不共线向量abc，(，R)则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直A1个 B2个C3个 D4个6已知ABCD是四面体，O是BCD内一点，则()是O为BCD重心的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件7同时垂直于a(2,2,1)，b(4,5,3)的单位向量是()A.B.C.D.或8如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEF是A1D，AC的公垂线CEF与BD1相交DEF与BD1异面9已知正方体ABCDABCD中，点F是侧面CDDC的中心，若xy，则xy等于()A0 B1C. D10已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C是线段AB上一点，且，则C点的坐标为()A. B.C. D.11若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)12a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是()A.B.C.D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13|a|b|c|1，abc0，则acbcab_.14已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数、m、n使mn0，那么mn的值等于_15在平面直角坐标系中，A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标系折成120的二面角，则AB的长度为_16三棱锥PABC中，PAPBPCABAC1，BAC90，则直线PA与底面ABC所成角的大小为_三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABCABC，设a，b，c，在面对角线AC和棱BC上分别取点M、N，使k，k(0k1)，求证：三向量、a、c共面18(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN平面EFDB.19(本小题满分12分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点(1)求证：ACBC1.(2)求证：AC1平面CDB1(3)求AC1与BC1所成角的余弦值20(本小题满分12分)长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD6，AA14，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，PB与平面ABC成60的角，底面ABCD是直角梯形，ABCBAD90，ABBCAD.(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)设E是棱PD上一点，且PEPD，求异面直线AE与PB所成的角22(本小题满分14分)(09山东理)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点(1)证明：直线EE1平面FCC1；(2)求二面角BFC1C的余弦值1答案C解析四边形ADC1B1为平行四边形，O为对角线交点与是一对相反向量，故真；，假；设正方形ABCD中心为O1，正方形A1B1C1D1中心为O2，则4，4，与是相反向量，真；，与是相反向量，真2答案B解析(ab)c是与c共线的向量，(bc)a是与a共线的向量，a与c不一定共线，故A假；若ab|a|b|，则a与b方向相反，ab，故B真；若acbc，则(ab)c0，即(ab)c，不能得出ab，故C假；若aabb，则|a|b|，方向不确定，故得不出ab，D假3答案B解析0，0，平面ABCD.4答案A解析设D(x，y，z)，DBAC，DCAB，四边形ABDC为平行四边形从而，即(1,0,1)(x，y1，z)，.5答案D6答案C解析设E为CD中点，()()()，.即O为BCD的重心反之也成立7答案D解析设所求向量为c(x，y，z)，则，检验知选D.点评检验时，先检验A(或B)，若A不满足，则排除A、D；再检验B，若A满足，则排除B，C，只要看D是否成立8答案B解析以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1，1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.9答案A解析如图所示，xy，xy，xy，xy0.10答案C解析由题意知，2，设C(x，y，z)，则2(x4，y1，z3)(2x，5y,1z)，即C.11答案D解析l，an0，经检验知选D.12答案C解析ba(1t,2t1,0)，|ba|2(1t)2(2t1)25t22t252，|ba|min.13答案解析设acbcabx，则2x(ab)c(bc)a(ca)b|c|2|a|2|b|23，x.14答案0解析由mn0得，.根据空间直线的向量参数方程有，1mnmn0.点评A、B、C是空间不同三点，O为空间任一点，设xy，则A、B、C共线xy1.15答案2解析如图作AMx轴，BNx轴，垂足为M、N，由题设易知，|3，|2.，120，|5，由条件|2()2|2|2|222292542|cos，44，|2.16答案45解析由条件知，ABAC1，BAC90，BC，PBPC1，BPC90，取BC边中点E，则PE，AE，又PA1，PEA90，故PAE45，E为BC中点，PEBC，AEBC，BC平面PAE，平面PAE平面ABC，PAE为直线PA与平面ABC所成角17解析kk()ak(ba)(1k)akb，kk()kbkc，(1k)akc.向量a和c不共线，、a、c共面18解析解法一：，ANBE.，NMEF，又ANMNN，AN、MN平面AMN，BEEFE，BE，EF平面EFDB，平面AMN平面AMN，BEEFE，BE、EF平面EFDB.解法二：以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，1)，N(，0,1)，B(1,1,0)，F(0，1)(0，1)，(，0,1)，(1,1,0)，(0，1)设平面AMN与平面EFBD的法向量分别为n1(x，y，z)和n2(x2，y2，z2)则n1yz0，n1xz0.解得y2z，x2z，令z1得n1(2，2,1)同理由可得令z21，平面EFDB的一个法向量m2(2，2,1)，n1n2，n1n2，平面AMN平面EFDB.解法三：转化为线线平行或线面平行问题建立如图所示的空间直角坐标系，取MN、DB及EF的中点R，T，S则A(1,0,0)，M(1，1)，N(，0,1)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E(，1,1)，F(0，1)，R(，1)，S(，1)，T(，0)，(，0)，(，0)(，1)，(，1)，NEF，RTS，得MNEF，ARTS，由于MN、AR平面EFDBMN平面EFDB，AR平面EFDB，平面AMN平面EFDB.点评本题可以用逻辑推理来证明，即用面面平行的判定定理证明，在实现判定定理的条件时，使用了向量法，此时可用建系求坐标法或空间基底表示法完成此题19解析直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，AC、BC、C1C两两垂直如图所示，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)(1)(3,0,0)，(0，4,4)0，ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连结DE，则E(0,2,2)(，0,2)，(3,0,4)，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.(3)(3,0,4)，(0,4,4)，cos.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.20解析如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)(1)(2，3,2)，(4，2，2)，在上的射影为，故M到PQ的距离为.(2)设n(x，y，z)是平面AB1P的法向量，则n，n，(4,0,4)，(4,4,0)，.因此可取n(1,1,1)，由于(2，3，4)，那么点M到平面AB1P的距离为d，故M到平面AB1P的距离为.点评求点P到直线l的距离时，在直线l上任取一点Q，则在l上射影的长度为m|cos，n|(n为直线l的一个方向向量)，即m，于是P到l的距离d.21解析如图，建立空间直角坐标系Axyz.PA平面ABCD，PB与平面ABC成60，PBA60.取AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0，)，D(0,2,0)(1)(1,1,0)，(0,0，)，(1,1,0)，1100，0.ACCD，APCD，CD平面PAC.CD平面PCD，平面PCD平面PAC.(2)，E(0，)，(0，)又(1,0，)，2.cos.异面直线AE与PB所成的角为arccos.22解析(1)证法一：取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1，即为平面C1CFF1，连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.证法二：因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.(2)解法一：取FC的中点H，由于FCBCFB，所以BHFC.又BHCC1，所以BH平面FCC1.过H作HGC1F于G，连结BG.由于HGC1F，BH平面FCC1，所以C1FBHG，因此BGC1F，所以BGH为所求二面角的平面角，在RtB