北京市师大附中2020学年高二数学下学期期中试题 理

北京师大附中2020学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）1已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若直线（t为参数）的倾斜角为，则 ( )A B C D3设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ( )A BC D4计算定积分 ( )A1 Be-1 Ce De+15下面为函数的递增区间的是 ( )A B C D6以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线被圆C截得的弦长为 ( )A B C D7如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点若GDEF，则线段DF长度的最小值为 ( )A B C D8已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x(-，0)时，成立，(其中f(x)是f(x)的导数）；若, ，则a，b，c的大小关系是（ ）Aabc Bbac Ccab Dcba二、填空题（每小题5分，共30分）9若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=_10在极坐标系中，极点到直线的距离是_11如图，圆内的正弦曲线与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_12设曲线过点(0，0)的切线与曲线上点P处的切线垂直，则P的坐标为_13已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为_。14定义在区间a，b上的连续函数y=f(x)，如果，使得，则称为区间a,b上的“中值点”下列函数：；中，在区间0,1上“中值点”多于一个的函数序号为_（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15己知函数( I)求函数f(x)的极值：(II)求函数f(x)在0，2上的最大值；16设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；(II)当OAOB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)17已知函数，kR(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当k0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围18已知椭圆，点P(2，0)(I)求椭圆C的短轴长与离心率；( II)过(1，0)的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论19已知函数(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；(II)设实数k使得f(x)0，且,所以（II）因为A，B是抛物线C上的两点，所以设，由OAOB，得，所以由，知，即直线AB经过定点M（4,0）17解：（I）函数的定义域为（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；令，解得，此时函数为单调递减函数（2）当时，当，即时，令，解得或，此时函数为单调递增函数；令，解得，此时函数为单调递减函数当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；当，即时，令，解得或，此时函数为单调递增函数；令，解得，此时函数为单调递减函数综上所述，当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（II）因为函数在（1，2）内单调递减，所以不等式在在（1,2）上成立因为，则，所以等价于，即，所以18解：（I），故有，椭圆C的短轴长为，离心率为（II）方法1：结论是：当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，设直线，整理得：故故，即点P在以MN为直径的圆内，故（II）方法2,：结论是当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，设直线，整理得：故此时，故19解：（I）；（II）因为，所以恒成立等价于恒成立，令，再求函数的最大值，得k的范围是；（III）由，得，即，研究函数，的最大值，所以，当或者时，有0个零点；当或者时，有1个零点；当时，有2个零点；20解：（I）（II）当m=3时，设数列中1,2,3，出现频数依次为，由题意假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以同理可证：假设，则存在唯一的，使得那么，对，有（k，s，t两两不相等），与已知矛盾，所以综上：，所以（III）设1，2，2020出现频数依次为同（II）的证明，可得，则取，得到的数列为：下面证明满足题目要求对，不妨令，如果或，由于，所以符合条件；如果或，由于，所以也成立；如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且i