C题-2016年全国大学生数学建模竞赛赛题讲评与经验交流会_广西南宁

电池剩余放电时间预测电池剩余放电时间预测 20162016年年C C题题讲评讲评 主讲人：北京工业大学主讲人：北京工业大学 薛毅薛毅 Email: xueyi 20162016年全国大学生数学建模竞赛赛题讲评与经验交流会年全国大学生数学建模竞赛赛题讲评与经验交流会 广西南宁、广西南宁、20162016年年11 11月月2626日日 电池剩余放电时间预测电池剩余放电时间预测2016年年C题题讲评讲评 1. 题目 电池剩余放电时间预测 题目题目 电池剩余放电时间预测电池剩余放电时间预测 铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。在铅酸电池以 恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护 电压（电压（Um, 本题中为本题中为9V）。）。 从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负 荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间）是的剩余放电时间）是 使用中必须回答的问题。电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状使用中必须回答的问题。电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状 态会发生衰减。态会发生衰减。 （1）附件）附件1是同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电是同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电 曲线的采样数据。请根据附件曲线的采样数据。请根据附件1用初等函数表示各放电曲线，并分别给出用初等函数表示各放电曲线，并分别给出 各放电曲线的平均相对误差（各放电曲线的平均相对误差（MRE, 定义见附件定义见附件1）。如果在新电池使用）。如果在新电池使用 中，中， 题目题目 电池剩余放电时间预测电池剩余放电时间预测 分别以分别以30A、40A、50A、 60A和和70A电流强度放电，电流强度放电， 测得电压都为测得电压都为9.8伏时，伏时， 根据你获得的模型，电根据你获得的模型，电 池的剩余放电时间分别池的剩余放电时间分别 是多少？是多少？ 图图1 1：附件：附件1 1中中ExcelExcel表的部分截图表的部分截图 （2）试建立以）试建立以20A到到100A之间任一恒之间任一恒 定电流强度放电时的放电曲线的数定电流强度放电时的放电曲线的数 学模型，并用学模型，并用MRE评估模型的精度。评估模型的精度。 用表格和图形给出电流强度为用表格和图形给出电流强度为55A 时的放电曲线。时的放电曲线。 （3）附件）附件2是同一电池在不同衰减状是同一电池在不同衰减状 态下以同一电流强度从充满电开始态下以同一电流强度从充满电开始 放电的记录数据。试预测附件放电的记录数据。试预测附件2中中 电池衰减状态电池衰减状态3的剩余放电时间。的剩余放电时间。 题目题目 电池剩余放电时间预测电池剩余放电时间预测 图图2 2：附件：附件2 2中中ExcelExcel表的部分截图表的部分截图 2.建立剩余放电时间的数学模型 建立数学模型建立数学模型 数据处理数据处理 2.1 数据处理 将问题将问题1和问题和问题2放在一起讨论，在讨放在一起讨论，在讨 论时，先对数据作处理论时，先对数据作处理(如绘图如绘图)，以得到，以得到 一些直观的想法，给出解题的思路一些直观的想法，给出解题的思路, 建立建立 相关的数学模型。相关的数学模型。 图图3 3：电池的放电曲线图：电池的放电曲线图 首先是读取数据，画出电池的放电曲首先是读取数据，画出电池的放电曲 线图（见图线图（见图3）。）。 建立数学模型建立数学模型 问题分析问题分析 2.2 问题分析 从题目要求，以及日常生活经验，人从题目要求，以及日常生活经验，人 们更关心电池的剩余放电时间，而不是已们更关心电池的剩余放电时间，而不是已 放电时间。因此，绘出电池的剩余放电时放电时间。因此，绘出电池的剩余放电时 间曲线，如图间曲线，如图4所示。所示。 按照题目要求按照题目要求, 最好能够得到剩余放电最好能够得到剩余放电 时间关于电压和电流强度的整体表达式时间关于电压和电流强度的整体表达式 图图4 4：电池的剩余放电曲线图：电池的剩余放电曲线图 IUft, 其中其中t为剩余放电时间，为剩余放电时间，U为电压，为电压，I为电流。为电流。 （1） 建立数学模型建立数学模型 问题分析问题分析 如果整体表达式计算出的误差较如果整体表达式计算出的误差较 大，那么求其次，构造在不同电流强大，那么求其次，构造在不同电流强 度下，电压与剩余放电时间的表达式度下，电压与剩余放电时间的表达式 需代入电压需代入电压U = 9.8V和不同的电流强和不同的电流强 度值，以及代入电流强度度值，以及代入电流强度I = 55A和不和不 同的电压值就可以了。同的电压值就可以了。 如果只能得到在不同电流下剩余如果只能得到在不同电流下剩余 放电时间关于电压的表达式放电时间关于电压的表达式(2)，问题，问题 2求解稍复杂，需要利用公式求解稍复杂，需要利用公式(2)导出导出 固定电流强度下固定电流强度下(如如I =55A)关于电压关于电压 的表达式的表达式, 估计出电流强度估计出电流强度I =55A的的 剩余放电时间。剩余放电时间。 , 9 , 2 , 1,iUft i （2） 其中其中t为剩余放电时间，为剩余放电时间，U为电压，为电压，I为为 电流，电流， i表示不同的电流情况。表示不同的电流情况。 如果得到了剩余放电时间关于电如果得到了剩余放电时间关于电 压和电流强度的整体表达式压和电流强度的整体表达式(1), 那么那么 问题问题1和问题和问题2的解答就简单了的解答就简单了,只只 从建模角度来看，得到关于电压、从建模角度来看，得到关于电压、 电流的整体表达式，且满足精度要求，电流的整体表达式，且满足精度要求， 是困难的，所以这里仅讨论剩余放电是困难的，所以这里仅讨论剩余放电 时间关于电压和电流强度的整体表达时间关于电压和电流强度的整体表达 式式(1)的建模方法。的建模方法。 按题目要求，按题目要求，f 是初等函数，即是初等函数，即 基本初等函数基本初等函数 - 幂函数、指数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数和反三角函对数函数、三角函数和反三角函 2.3 建立数学模型 建立数学模型建立数学模型 建模建模 数，以及它们的有限步四则运算。数，以及它们的有限步四则运算。 从图形来看从图形来看(见图见图1)，三角函数、，三角函数、 反三角函数和对数函数都不适合作拟反三角函数和对数函数都不适合作拟 合函数，剩下只有幂函数和指数函数。合函数，剩下只有幂函数和指数函数。 注意：当电压注意：当电压U =9V时，剩余放电时时，剩余放电时 间为间为0，所以仅有指数是不够的。因，所以仅有指数是不够的。因 此，利用这一性质，用幂函数作拟合此，利用这一性质，用幂函数作拟合 b a IUct9 其中其中a, b, c 是待定系数。是待定系数。 （3） 建立数学模型建立数学模型 建模建模 这是一个非线性最小二乘问题，这是一个非线性最小二乘问题， 需要使用软件计算需要使用软件计算, 并且初始点的选并且初始点的选 择需要作一些尝试，择需要作一些尝试，R软件（见软件（见1） 的计算结果如下的计算结果如下 21782733610 0472561 9346721 .= c .=b .=a （4） 在计算时在计算时, 需要注意两个问题：需要注意两个问题： (1)对于表达式对于表达式(3)不能通过取对数转不能通过取对数转 换成线性问题求解，因为当电压换成线性问题求解，因为当电压 接近或达到接近或达到9.0V时，它的对数会时，它的对数会 接近或达到负无穷。接近或达到负无穷。 (2)非线性优化问题通常只能求出局非线性优化问题通常只能求出局 部解，不同的初始点，或者不同部解，不同的初始点，或者不同 的软件，其计算结果可能会是不的软件，其计算结果可能会是不 同的。同的。 3.问题1和问题2的求解 求解求解 平均相对误差平均相对误差 有了模型有了模型(3-4)后，问题后，问题1和问题和问题 2 的计算就简单了，只需代入相应的计算就简单了，只需代入相应 的数值即可。但在模型使用之前，需的数值即可。但在模型使用之前，需 要计算平均相对误差。要计算平均相对误差。 3.1 平均相对误差 利用放电曲线预测电池的剩余放利用放电曲线预测电池的剩余放 电时间（或剩余容量）的精度取决于电时间（或剩余容量）的精度取决于 放电曲线在低电压段的质量。但是，放电曲线在低电压段的质量。但是， 放电曲线等时间间隔采样在低电压段放电曲线等时间间隔采样在低电压段 的采样点相对稀疏。基于这个事实，的采样点相对稀疏。基于这个事实， 定义平均相对误差定义平均相对误差(MRE)如下：如下： 在附件的在附件的Excel表中从表中从Um开始开始 按不超过按不超过0.005V的最大间隔提取的最大间隔提取231 个电压样本点，这些电压值对应的模个电压样本点，这些电压值对应的模 型已放电时间与采样已放电时间的平型已放电时间与采样已放电时间的平 均相对误差即为均相对误差即为MRE。 求解求解 平均相对误差平均相对误差 理解这段话的意义：由于关心电理解这段话的意义：由于关心电 压在低端时的剩余放电时间，需要在压在低端时的剩余放电时间，需要在 低端选取低端选取231个点，作为样本。但还个点，作为样本。但还 要考虑采样的稀疏性，所以才给出这要考虑采样的稀疏性，所以才给出这 样的定义。样的定义。 MRE的数学表达式定义为的数学表达式定义为 n i i ii t tt n 1 1 MRE （5） 其中其中 是放电样本是放电样本, 是的估计值。是的估计值。 i t i t 表表1给出了在不同电流强度下给出了在不同电流强度下, 由由 公式公式(5)计算的计算的MRE值。值。 电流电流/AMRE/%电流电流/AMRE/% 200.3354701.0031 300.7761803.4490 401.3174905.7217 502.605210012.4465 602.1840 表表1 1：不同电流下放电时间的：不同电流下放电时间的MREMRE值值 求解求解 问题的计算问题的计算 3.2 问题的计算 如果认为上述的如果认为上述的MRE值通过检验，值通过检验， 就可以进行计算。表就可以进行计算。表2给出在电压给出在电压9.8 V下剩余放电时间的估计值和实际值。下剩余放电时间的估计值和实际值。 表表3给出在电流强度为给出在电流强度为55A的情况下的情况下, 电池剩余放电时间的估计值。电池剩余放电时间的估计值。 电流电流/A实际值实际值/min估计值估计值/min 30594619.53 40430458.37 50326362.85 60277299.78 70254255.08 电压电压/V10.310.09.89.59.0 剩余放电时间剩余放电时间/min8405063281320 表表2 2：9.8V9.8V下电池的剩余放电时间下电池的剩余放电时间 表表3 3：55A55A下电池剩余放电时间的估计值下电池剩余放电时间的估计值 图图5给出了在给出了在9.8V电压下电压下, 不同电不同电 流强度下的剩余放电时间。流强度下的剩余放电时间。 图图6给出了在给出了在55A电流强度下电流强度下, 不不 同电压下的剩余放电时间。同电压下的剩余放电时间。 图图6 6：不同电压下的剩余放电时间：不同电压下的剩余放电时间 图图5 5：不同电流强度下的剩余放电时间：不同电流强度下的剩余放电时间 求解求解 问题的计算问题的计算 求解求解 问题的计算问题的计算 最后给出不同电流、不同最后给出不同电流、不同 电压下电池的放电时间曲线和电压下电池的放电时间曲线和 拟合曲线（见图拟合曲线（见图7）。）。 图图7 7：放电时间曲：放电时间曲 线和拟合曲线图线和拟合曲线图 4.问题3的求解 求解求解 幂函数方法幂函数方法 问题问题3是考虑同一电池在不同衰是考虑同一电池在不同衰 减状态下以同一电流强度下的剩余放减状态下以同一电流强度下的剩余放 电时间。电时间。 图图8 8：不同电压下的剩余放电时间：不同电压下的剩余放电时间 4.1 幂函数方法 读取附件中的数据读取附件中的数据, 画出画出4个不同个不同 状态的放电曲线图（见图状态的放电曲线图（见图8）。问题）。问题3 的目标就是补齐衰减状态的目标就是补齐衰减状态3这段缺失这段缺失 的曲线。的曲线。 求解求解 幂函数方法幂函数方法 补充数据的方法有两种，一种是补充数据的方法有两种，一种是 使用自身的数据，作数据拟合，拟合使用自身的数据，作数据拟合，拟合 的方程为的方程为 aUcbt9 其中其中a, b, c 是三个待定常数。是三个待定常数。 公式公式(6)的形式是根据问题的形式是根据问题1和问和问 题题2的分析得到的，这里参数的分析得到的，这里参数b的意义的意义 是电池的最终放电时间。是电池的最终放电时间。 经计算得到经计算得到 （6） 447.235959 882.256937 1.791842 = c =b =a 这样得到状态这样得到状态3电池的剩余放电时间电池的剩余放电时间 882.26 -596.20 = 286.06 (分钟分钟)。 这个结论是否正确或合理呢这个结论是否正确或合理呢? 需需 要作检验。要作检验。 （7） 检验的方法：使用相同的方法来补充检验的方法：使用相同的方法来补充 新电池、状态新电池、状态1的电池和状态的电池和状态2的电池的电池 的补充曲线，然后与实际数据作对比，的补充曲线，然后与实际数据作对比， 如图如图9所示。所示。 从图形可以看出，所有的预测值从图形可以看出，所有的预测值 均偏大，预测的电池放电时间均偏大，预测的电池放电时间(或剩或剩 余放电时间余放电时间)过长。估计不准的重要过长。估计不准的重要 原因是，在计算电池的放电时间时，原因是，在计算电池的放电时间时， 没有利用到其他状态的放电信息。没有利用到其他状态的放电信息。 求解求解 幂函数方法幂函数方法 图图9 9：拟合方法补充和预测缺失数据：拟合方法补充和预测缺失数据 求解求解 回归方法回归方法 4.2 线性回归方法 这里的基本思想是将衰这里的基本思想是将衰 减状态减状态3看成另外三种状态看成另外三种状态 的线性组合的线性组合, 如式（如式（8），）， 在式中，在式中，New表示新电池状表示新电池状 态，态，I、II和和III表示状态表示状态1、 状态状态2和状态和状态3。 是残差是残差, 且满足且满足 IIINewIII 3210 （8） 。 2 , 0N 经经R软件计算得到软件计算得到 从计算结果得到：系数无法通过检验。从计算结果得到：系数无法通过检验。 另外，不仅仅考虑线性另外，不仅仅考虑线性 组合，还可以考虑二次项，组合，还可以考虑二次项， 甚至更高阶项。通过使用逐甚至更高阶项。通过使用逐 步回归分析的方法，最终的步回归分析的方法，最终的 回归方程确定为公式（回归方程确定为公式（9）。）。 经计算得到右边的结果，经计算得到右边的结果， 系数、方程的相关性均通过系数、方程的相关性均通过 检验。检验。 求解求解 回归方法回归方法 2 3210 IIIIIII（9） 再作残差检验，图再作残差检验，图10是残差图，图是残差图，图11是是Q-Q正态图。正态图。 求解求解 回归方法回归方法 图图1010：回归诊断：回归诊断 残差图残差图 图图1111：回归诊断：回归诊断 Q-Q Q-Q 图图 求解求解 回归方法回归方法 在完成检验和诊断之后，可以使在完成检验和诊断之后，可以使 用状态用状态1和状态和状态2的后半段数据来预测的后半段数据来预测 状态状态3的后半段缺失的数据，具体的的后半段缺失的数据，具体的 计算过程略，将补充的数据画在图上，计算过程略，将补充的数据画在图上， 如图如图12所示。所示。 从图形来看，这种补充方法是合从图形来看，这种补充方法是合 理的，可以用它进行估计。回归方法理的，可以用它进行估计。回归方法 估计出的放电时间为估计出的放电时间为805.73分钟，剩分钟，剩 余放电时间为余放电时间为209.53分钟。分钟。 图图1212：回归分析的方法补充缺失数据：回归分析的方法补充缺失数据 5.阅卷情况简述 阅卷情况阅卷情况 问题问题1 1的求解的求解 本人参加了北京地区和全国的本人参加了北京地区和全国的C 题阅卷，下面就阅卷中遇到的问题谈题阅卷，下面就阅卷中遇到的问题谈 一谈本人一点感受。一谈本人一点感受。 5.1 问题1的求解 （1）多项式回归）多项式回归(多项式拟合多项式拟合) 最直观和学生采用最多的方法是最直观和学生采用最多的方法是 多项式回归多项式回归 n nt tU 10 最简单的方法是线性拟合，最复杂的最简单的方法是线性拟合，最复杂的 是是9次多项式拟合。次多项式拟合。 从回归角度来看，线性回归过于从回归角度来看，线性回归过于 简单，且残差不满足回归方程中关于简单，且残差不满足回归方程中关于 残差的正态性与方差齐性的条件。残差的正态性与方差齐性的条件。 从拟合角度来看，大于从拟合角度来看，大于5次的拟合次的拟合 多项式，会产生较大的计算误差，因多项式，会产生较大的计算误差，因 此，多项式的阶数，应该在此，多项式的阶数，应该在25之间。之间。 （4） MRE的计算的计算 在在MRE的计算中，大多数的队的计算中，大多数的队 只简单给出计算结果，只有少数的队只简单给出计算结果，只有少数的队 对对MRE作分析。作分析。 因为因为MRE是计算中的重要指标，是计算中的重要指标， 应该作认真的分析。特别应该从应该作认真的分析。特别应该从 MRE的定义出发，研究它的意义，的定义出发，研究它的意义， 实际上，实际上，MRE计算的本质是要讨论计算的本质是要讨论 剩余放电时间（曲线末端）的精确程剩余放电时间（曲线末端）的精确程 度。度。 （2）指数与线性函数拟合）指数与线性函数拟合 还有一部分同学使用指数线性还有一部分同学使用指数线性 函数拟合函数函数拟合函数 dctbatU exp 这种方法最好能讲清建模的道理。这种方法最好能讲清建模的道理。 （3）检验）检验 无论是什么方法，重要的是作好无论是什么方法，重要的是作好 检验工作，这里的检验有两种，一类检验工作，这里的检验有两种，一类 是回归系数与回归方程的检验，另一是回归系数与回归方程的检验，另一 类是计算误差精度的检验。类是计算误差精度的检验。 阅卷情况阅卷情况 问题问题1 1的求解的求解 （5）变量选择）变量选择 是选择时间作为自变量，还是选是选择时间作为自变量，还是选 择电压作为自变量，即是择电压作为自变量，即是U=f(t)还是还是 t=f(U)。 从计算数学的角度来看，应该是后从计算数学的角度来看，应该是后 者，至少是在给定电压情况下，计算者，至少是在给定电压情况下，计算 时间比较方便，而前者需要计算反函时间比较方便，而前者需要计算反函 数。数。 从应用角度来看，人们应该更关从应用角度来看，人们应该更关 心剩余放电时间，而不是已放电时间。心剩余放电时间，而不是已放电时间。 因为在使用各种电器的过程中，人们因为在使用各种电器的过程中，人们 更关心还能用多少时间，而不关心已更关心还能用多少时间，而不关心已 经使用了多长时间。经使用了多长时间。 但在学生的论文中，拟合放电时间但在学生的论文中，拟合放电时间 占大多数，而使用剩余放电时间作为占大多数，而使用剩余放电时间作为 表达式的只占少数。表达式的只占少数。 （6）剩余放电时间的计算）剩余放电时间的计算 应该用到剩余放电时间应该用到剩余放电时间T是是(U-9) 的齐次函数，即在的齐次函数，即在9V时，剩余放电时，剩余放电 时间为零。时间为零。 阅卷情况阅卷情况 问题问题1 1的求解的求解 5.2 问题2的求解 （2）系数是电流的函数）系数是电流的函数 如使用多项式回归，系数不再是如使用多项式回归，系数不再是 常数，而是与电流常数，而是与电流I有关的函数，这有关的函数，这 里用到最多的也是电流里用到最多的也是电流I的多项式。的多项式。 （3) 检验检验 检验的方法也包含两个方面，一检验的方法也包含两个方面，一 是回归系数和回归方程的检验；另一是回归系数和回归方程的检验；另一 个是个是MRE的计算。大多数队只关心的计算。大多数队只关心 了后一方面。了后一方面。 （1）整体拟合方程）整体拟合方程 有的队在此时才想到整体拟合有的队在此时才想到整体拟合 有的队，计算出的剩余放电时间有的队，计算出的剩余放电时间 明显不合理，这是不应该的，因为这明显不合理，这是不应该的，因为这 一点很容易从放电曲线上得到验证，一点很容易从放电曲线上得到验证， 反查附件反查附件1中的中的Excel表，就得到相应表，就得到相应 的放电时间。的放电时间。 阅卷情况阅卷情况 问题问题2 2的求解的求解 ItfU, （4）计算）计算 在完成检验工作之后，代入在完成检验工作之后，代入I = 55A作计算。计算时作计算。计算时, 应考虑一些特应考虑一些特 殊电压的剩余放电时间，如殊电压的剩余放电时间，如9.0V，理，理 论的剩余放电时间为论的剩余放电时间为0。那么，你公。那么，你公 式的给出的计算值是多少式的给出的计算值是多少? 还有，问题还有，问题1中的中的9.8V也是一个需也是一个需 要考虑的时间。其他时间要考虑的时间。其他时间, 如如9.2、 9.3、9.5、10V的剩余放电时间等。的剩余放电时间等。 其他的剩余放电时间用曲线表示，其他的剩余放电时间用曲线表示， 这样清楚明白。这样清楚明白。 有的队用几页的表格表示剩余放有的队用几页的表格表示剩余放 电时间（或放电时间），或者只是使电时间（或放电时间），或者只是使 用一条简单的曲线来描述剩余放电时用一条简单的曲线来描述剩余放电时 间（或放电时间）。间（或放电时间）。 这两种方法都有它的不足，因为这两种方法都有它的不足，因为 它不能很好地表达你论文的计算精度，它不能很好地表达你论文的计算精度， 以及计算的合理性。以及计算的合理性。 阅卷情况阅卷情况 问题问题2 2的求解的求解 5.3 问题3的求解 （1）拟合的方法作预测）拟合的方法作预测 这是使用最多的方法，也没有这是使用最多的方法，也没有 什么不妥，但没有使用全部数据总什么不妥，但没有使用全部数据总 是感觉哪里不对。是感觉哪里不