第二章 运算方法和运算器

,华北电力大学计算机系王晓霞,计算机组成原理,第二章,本章结构,2.4定点数乘法运算,2.3定点数加减运算及实现,2.2机器数的编码格式,2.1数据信息的表示方法,2.5定点数除法运算,2.6浮点数运算方法,2.7运算器部件及进位链结构,2.8位片式运算器部件Am2901,2.1数据信息的表示方法,数值数据的表示方法,小数点按约定方式标出,1.定点表示法,2.浮点表示,计算机中r取2、4、8、16等,当r=2,N=11.0101,=0.110101210,=1.1010121,=1101.012-10,=0.001101012100,计算机中S正负定点小数，可用补码或原码表示,j正负整数，可用补码或移码表示,规格化数,数值数据的表示方法,(1)浮点数的表示形式,Sf代表浮点数的符号,n其位数反映浮点数的精度,m其位数反映浮点数的表示范围,jf和m共同表示小数点的实际位置,浮点表示,(2)浮点数的表示范围,2(2m1)(12n),2(2m1)2n,2(2m1)(12n),2(2m1)2n,215(12-10),2-152-10,2-152-10,215(12-10),上溢阶码最大阶玛下溢阶码B,YC,0A,0CR,Cn=1?,A+0A,A+BA,A和C右移一位,CR+1CR,CR=n?,结束,xsysps,3.原码一位乘流程,N,Y,N,Y,4.原码一位乘法逻辑结构图,计数器：对移位的次数进行计数，以便判断乘法运算是否结束。当计数器i=n时，计数器i的溢出信号使控制触发器Cx置0，关闭时序脉冲T，乘法操作结束。,设被乘数X补=xs.x1x2xn，乘数Y补=ys.y1y2yn,1.校正法,X补Y补=(2n+1+X)Y=2n+1Y+XY=22n0.y1y2yn+XY=2+XY=XY补(mod2),分两种情况讨论：,被乘数任意，乘数为正,X补=xs.x1x2xn=2+X=2n+1+X(mod2),Y补=Y=0.y1y2yn,即：X补Y补=XY补=X补Y,可见，当乘数为正时，可按原码一位乘法的规则运算，结果不需要校正,二、补码一位乘,被乘数任意，乘数为负,故XY补=X0.y1y2yn补+-X补,X补=xs.x1x2xn,Y补=1.y1y2yn2Y(mod2),则XY补=X补(0.y1y2yn)+-X补,可见，当乘数为负时，先把y补的符号位丢掉不管，仍按原码一位乘运算，最后加X补进行校正,则Y=Y补-2=1.y1y2yn-20.y1y2yn-1,XY=X(0.y1y2yn-1)=X0.y1y2yn-X,将上式中0.y1y2yn视为一个正数，正好与情况相同,二、补码一位乘,校正法的运算规则如下：,设被乘数,乘数,被乘数任意，乘数为正,同原码乘,但加和移位按补码规则运算,乘积的符号自然形成,被乘数任意，乘数为负,乘数y补，去掉符号位，操作同,最后加x补，校正,以小数为例,例：已知x=+0.1101y=0.1011求xy补,解：,X补=00.1101,Y补=1.0101,X补=11.0011,举例,00.0000,00.1101,00.1101,00.0000,00.1101,00.0000,00.0100,0001,00.0110,00.0011,00.1000,11.0011,11.0111,0001,所以XY补11.01110001,XY0.10001111,结果,2.比较法(Booth算法),XY补=X补(0.y1y2yn)Y0,XY补=X补(0.y1y2yn)+-X补YB,Y补C,0A,0CR,0Cn+1,CnCn+1=?,A+BA,A-BA,CR+1CR,CR=n+1?,结束,A和C右移一位,N,Y,10,01,00/11,比较法（Booth算法）流程图,补码一位乘法逻辑结构图,三、原码两位乘,原码乘,符号位和数值位部分分开运算,两位乘,每次用乘数的2位判断原部分积是否加和如何加被乘数,3？,先减1倍的被乘数X再加4倍的被乘数+4X,原码两位乘运算规则：,（1）乘积的符号位单独处理（2）部分积与被乘数均取三位符号位（3）CJ是一位独立的触发器，初始值为0（4）按下表所示的操作进行（5）运算之前，要将乘数凑为偶数。若乘数的数值位n为偶数，乘数取双符号位，这种情况共做(n/2)+1步，最后一步不移位；若乘数的数值位n为奇数，乘数取单符号位，每步处理2位，恰好做(n+1)/2步，最后一步移一位。,1,11,0,11,1,10,0,10,1,01,0,01,1,00,0,00,操作内容,触发器CJ,乘数判断位yi-1yi,原部分积右移两位,0=CJ,原部分积右移两位,1=CJ,原部分积-X,右移两位,1=CJ,原部分积+X,右移两位,0=CJ,原部分积+X,右移两位,0=CJ,原部分积+2X,右移两位,0=CJ,原部分积-X,右移两位,1=CJ,原部分积+2X,右移两位,0=CJ,原码两位乘运算规则表,例：已知x=0.111111y=0.111001求xy原,000.000000,000.111111,000.111111,00.111001,0,初始部分积为0,+X，CJ=0,001.111110,+2X，CJ=0,111.000001,X，CJ=1,000.111111,+X，CJ=0,0,0,1,解：,数值部分的运算,数值部分的运算,xy=0.111000000111,则xy原=1.111000000111,结果,原码两位乘和原码一位乘比较,绝对值,绝对值的补码,逻辑右移,算术右移,n,n,思考n为奇数时，原码两位乘移？次,设上一步的部分积为Pi补，本步的部分积应为：Pi+1补2-1Pi补+（yn-i+1yn-i)X补下一步的部分积应为：Pi+2补2-1Pi+1补+（yn-iyn-i-1)X补将前一个公式中的Pi+1补代入Pi+2补公式中，则Pi+2补2-12-1Pi补+（yn-i+1yn-i)X补+(yn-iyn-i-1)X补2-2Pi补+（yn-i+1yn-i)X补+2(yn-iyn-i-1)X补2-2Pi补+(yn-i+1+yn-i2yn-i-1)X补,四、补码两位乘,由上式可见，补码两位乘可以通过yn-i+1，yn-i，yn-i-1作为判断位来确定运算操作。,补码两位乘法的运算规则为：,(1)两数均用补码表示，符号位参加运算。(2)部分积与被乘数均采用3位符号表示，乘数末位增加一位附加位yn+1，其初始值为0。(3)按下表所示操作。(4)若乘数的数值位n为偶数，乘数取双符号位，这种情况共做(n/2)+1步，最后一步不移位；若乘数的数值位n为奇数，乘数取单符号位这种情况共做(n+1)/2步，最后一步移一位。,1,11,0,11,1,10,0,10,1,01,0,01,1,00,0,00,操作内容,yn-i-1yn-iyn-i+1,原部分积右移两位,原部分积右移两位,原部分积+-X补,右移两位,原部分积+X补,右移两位,原部分积+X补,右移两位,原部分积+2X补,右移两位,原部分积+-X补,右移两位,原部分积+2-X补,右移两位,补码两位乘运算规则表,乘法小结,原码乘符号位单独处理补码乘符号位自然形成,原码乘去掉符号位运算即为无符号数乘法,不同的乘法运算需有不同的硬件支持,整数乘法与小数乘法完全相同可用逗号代替小数点,一、分析笔算除法,x=0.1011y=0.1101求xy,0.1011,0.1101,0.01101,0.01001,0.001101,0.000101,0.00001101,0.00000111,1,商符单独处理,心算上商,余数不动低位补“0”减右移一位的除数,上商位置不固定,商符心算求得,0,0.,1,0,1,0,0,0,？,？,？,2.5定点除法运算,笔算除法和机器除法的比较,商符单独处理,心算上商,符号位异或形成,|x|y|0上商1,|x|y|0上商0,2倍字长加法器,上商位置不固定,1倍字长加法器,在寄存器最末位上商,二、原码除法,以小数为例,被除数不等于0,除数不能为0,约定,1、恢复余数法,0.1011,1.0011,1.0011,1.0011,0.0000,+y*补,0,0.1101,恢复余数,+y*补,+y*补,解：,x原=1.1011y原=1.1101,1,+y*补,y*补=0.1101y*补=1.0011,1.0011,0.1101,1.0011,+y*补,恢复余数,+y*补,上商5次,第一次上商判溢出,余数为正上商1,余数为负上商0，恢复余数,移4次,1,0,1,+y*补,2、不恢复余数法（加减交替法）,余数Ri0上商“1”，2Riy*,余数Ri0上商“0”，Ri+y*恢复余数,2(Ri+y*)y*=2Ri+y*,加减交替,恢复余数法运算规则,不恢复余数法运算规则,余数Ri0上商“1”2Riy*,余数Ri0上商“0”2Ri+y*,解：,例,0.1011,1.0011,0.1101,1.0011,1.0011,0.1101,0.0000,+y*补,0,+y*补,+y*补,+y*补,+y*补,x原=1.1011,y*补=0.1101,y*补=1.0011,y原=1.1101,1,1,0,1,结果,Ri补=0.1000,三、补码不恢复余数除法,(1)商值的确定,x补=0.1011,y补=1.1101,Ri补=0.1000,x补=1.1101,y补=0.1011,x*y*,Ri补与y补同号,“够减”,x*y*,Ri补与y补异号,“不够减”,+,+,比较被除数和除数绝对值的大小,x与y同号,小结,x补=0.1011,y补=1.1101,Ri补=0.1000,x补=1.1101,y补=0.1011,Ri补=0.1000,x*y*,Ri补与y补异号,“够减”,x*y*,Ri补与y补同号,“不够减”,+,+,x与y异号,商值的确定,x补与y补同号,正商,按原码上商,x补与y补异号,负商,按反码上商,末位恒置“1”法,小结,（同号）,（异号）,（异号）,（同号）,小结,简化为,（同号）,（异号）,（异号）,（同号）,(2)商符的形成,除法过程中自然形成,x补和y补同号,x补y补,比较Ri补和y补,同号(够)“1”,异号(不够)“0”,原码上商,小数除法第一次“不够”上“0”,正商,x补和y补异号,x补+y补,比较Ri补和y补,异号(够)“0”,同号(不够)“1”,反码上商,小数除法第一次“不够”上“1”,负商,(3)新余数的形成,加减交替,例,解：,x补=1.0101y补=0.1101y补=1.0011,1.0101,0.1101,1.0011,0.1101,0.1101,0.0000,异号做加法,1,0.0010,同号上“1”,异号上“0”,+y补,异号上“0”,+y补,同号上“1”,末位恒置“1”,0,0,1,1,+y补,一、浮点加减运算,x=Sx2jx,y=Sy2jy,1.对阶,(1)求阶差,(2)对阶原则,j=jxjy=,jx=jy已对齐,jxjy,jxjy,x向y看齐,y向x看齐,x向y看齐,y向x看齐,小阶向大阶看齐,2.6浮点数运算方法,例如,x=0.1101201y=(0.1010)211,求x+y,解：,x补=00,01;00.1101y补=00,11;11.0110,1.对阶,j补=jx补jy补,=00,01,11,01,11,10,阶差为负（2）,11.1001,x+y补=00,11;11.1001,对阶,x补=00,11;00.0011,+,+,对阶后的Sx补,求阶差,2.尾数求和,3.规格化,(1)规格化数的定义,(2)规格化数的判断,S0,真值,原码,补码,反码,规格化形式,S0,规格化形式,真值,原码,补码,反码,原码不论正数、负数，第一数位为1,补码符号位和第1数位不同,特例,S=1,1补是规格化的数,(3)左规,(4)右规,上例x+y补=00,11;11.1001,左规后x+y补=00,10;11.0010,x+y=(0.1110)210,当尾数溢出（1）时，需右规,例1,解：,x补=00,010;00.110100,y补=00,001;00.101100,对阶,尾数求和,j补=jx补jy补,=00,010,11,111,100,001,阶差为+1,y补=00,010;00.010110,Sx补=00.110100,Sy补=00.010110,对阶后的Sy补,01.001010,+,+,尾数溢出需右规,右规,x+y补=00,010;01.001010,x+y补=00,011;00.100101,右规后,x+y=0.100101211,4.舍入,在对阶和右规过程中，可能出现尾数末位丢失引起误差，需考虑舍入,(1)0舍1入法,(2)恒置“1”法,例2,解：,x补=11,011;11.011000,y补=11,100;00.111000,对阶,j补=jx补jy补,=11,011,00,100,11,111,阶差为1,x补=11,100;11.101100,x=(0.101000)2-101,y=(0.111000)2-100,+,尾数求和,Sx补=11.101100,Sy补=11.001000,+,110.110100,右规,x+y补=11,100;10.110100,x+y补=11,101;11.011010,右规后,xy=(0.100110)2-11,5.溢出判断,设机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码的数值部分取7位，数符取2位，尾数取n位，则该补码在数轴上的表示为,2127(1),2-128(2-1+2-n),2-1282-1,2127(12-n),阶码01,阶码01,阶码10,按机器零处理,二、浮点乘除运算,x=Sx2jx,y=Sy2jy,1.乘法,xy=(SxSy)2jx+jy,2.除法,(2)尾数乘除同定点运算,4.浮点运算部件,阶码运算部件，尾数运算部件,3.步骤,(3)规格化,(1)阶码采用补码定点加（乘法）减（除法）运算,思考题,假定有4个整数用8位补码分别表示r1=FEH，r2=F2H，r3=90H，r4=F8H，若将运算结果存放在一个8位寄存器中，则下列运算会发生溢出的是()A.r1xr2B.r2xr3C.r1xr4D.r2xr4,2.一个C语言程序在一台32位机器上运行。程序中定义了三个变量xyz，其中x和z是int型，y为short型。当x=127，y=-9时，执行赋值语句z=x+y后，xyz的值分别是()AX=0000007FH，y=FFF9H，z=00000076HBX=0000007FH，y=FFF9H，z=FFFF0076HCX=0000007FH，y=FFF7H，z=FFFF0076HDX=0000007FH，y=FFF7H，z=00000076H3.浮点数加减运算过程一般包括对阶、尾数运算、规格化、舍入和判溢出等步骤。设浮点数的阶码和尾数均采用补码表示，且位数分别为5位和7位（均含2位符号位）。若有两个数X=2729/32，Y=255/8，则用浮点加法计算X+Y的最终结果是()A001111100010B.001110100010C010000010001D.发生溢出,思考题,2.7运算器部件及进位链结构,2.7.1加法器,一、全加器3个输入量：Ai，Bi，Ci-12个输入量：本位和Si，向高位的进位Ci全加器的逻辑表达式为：Si=AiBiCi-1Ci=AiBi+(AiBi)Ci-1,2.7.1加法器,2.7.1加法器,二、串行加法器与并行加法器,2.7.2并行加法器的进位链,一、进位信号的基本逻辑Ci=AiBi+(AiBi)Ci-1设Gi=AiBi为进位产生函数Pi=AiBi为进位传递函数PiCi-1为传送进位,2.7.2并行加法器的进位链,二、串行进位串行进位又称行波进位，每一级进位直接依赖于前一级进位，进位信号的逻辑式如下：C1=A1B1+(A1B1)C0=G1+P1C0C2=A2B2+(A2B2)C1=G2+P2C1Cn=AnBn+(AnBn)Cn-1=Gn+PnCn-1,2.7.2并行加法器的进位链,图2-22串行进位的并行加法器,C1,S1,C0,A1,B1,C2,S2,A2,B2,Cn,Sn,An,Bn,Cn-1,2.7.2并行加法器的进位链,三、并行进位并行进位又称先行进位、跳跃进位，其特点是各级进位信号同时形成。逻辑式如下：C1=G1+P1C0C2=G2+P2C1=G2+P2G2+P2P1C0C3=G3+P3C2=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1C0Cn=Gn+PnCn-1=Gn+PnGn-1+PnPn-1P2G1+PnPn-1P1C0,2.7.2并行加法器的进位链,四、分组并行进位主要思想：将n位全加器分成若干小组，组内各位之间并行进位，组间可以并行进位，也可以串行进位。1.组内并行，组间串行的进位链也称为单重分组跳跃进位。以16位加法器为例讨论。第一小组组内各位的进位逻辑表达式为：C1=G1+P1C0C2=G2+P2C1=G2+P2G2+P2P1C0C3=G3+P3C2=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1C0C4=G4+P4C3=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0,2.7.2并行加法器的进位链,C4=G4+P4C3=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0,G,P,C=C4=G+PC0,同理，C=C8=G+PCC=C12=G+PCC=C16=G+PC,2.7.2并行加法器的进位链,图2-234位一组并行进位示意图,2.7.2并行加法器的进位链,图2-2416位组内并行组间串行进位链框图,2.7.2并行加法器的进位链,2.组内并行，组间并行的进位链仍以16位加法器为例。由串行进位：,C=C4=G+PC0C=C8=G+PCC=C12=G+PCC=C16=G+PC,2.7.2并行加法器的进位链,C=C4=G+PC0C=C8=G+PC=G+PG+PPC0C=C12=G+PC=G+PG+PPG+PPPC0C=C16=G+PC=G+PG+PPG+PPPG+PPPPC0,2.7.2并行加法器的进位链,为了要产生每个小组的进位生成函数Gi和进位传递函数Pi，需要对小组内的并行进位线路进行修改：第一小组内产生G、P、C3、C2、C1，不产生C4；第二小组内产生G、P、C7、C6、C5，不产生C8；第三小组内产生G、P、C11、C10、C9，不产生C12；第四小组内产生G、P、C15、C14、C13,不产生C16。,2.7.2并行加法器的进位链,各小组的进位生成函数和进位传递函数的逻辑表达式为：G=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1G=G8+P8G7+P8P7G6+P8P7P6G5G=G12+P12G11+P12P11G10+P12P11P10G9G=G16+P16G15+P16P15G14+P16P15P14G13P=P4P3P2P1P=P8P7P6P5P=P12P11P10P9P=P16P15P14P13,2.7.2并行加法器的进位链,2.7.3多位ALU部件,一、4位ALU芯片,图2-26SN74181芯片示意图,2.7.3多位ALU部件,2.7.3多位ALU部件,*：A加A=2A，算术左移一位,2.7.3多位ALU部件,二、多位ALU部件的设计,74181ALU为4位并行加法器，组成16位的并行加法器怎么办？4片(组)74181连接怎样连？组与组之间串行连接组与组之间并行连接,2.7.3多位ALU部件,图2-2716位组内并行组间串行进位ALU,C0,C4,C8,C12,C16,1.组间串行，组内并行进位的16位ALU的设计,2.7.3多位ALU部件,2.组内并行，组间并行的16位ALU的设计,2.7.3多位ALU部件,并行进位部件SN74182的芯片示意图,图2-29SN74182芯片示意图,2.7.3多位ALU部件,图2-3016位两级并行进位ALU重分组跳跃,SN74182,P,G,P3,G3,P2,G2,P1,G1,P0,G0,Cn+z,Cn+y,Cn+x,SN74181,SN74181,SN74181,SN74181,C0,P,G,P,G,P,G,P,G,4片SN74181和1片SN74182构成的16位两级并行进位ALU,2.7.3多位ALU部件,例：用SN74181和SN74182设计如下的32位ALU（1）行波进位方式（2）两重进位方式（3）三重进位方式解：（1）行波进位方式的32位ALU,SN74181,SN74181,SN74181,SN74181,.,C0,C4,C8,C28,C32,2.7.3多位ALU部件,（2）两重进位方式的32位ALU,2.7.3多位ALU部件,（3）三重进位方式的32位ALU,SN74182,SN74181,SN74181,SN74181,SN74181,SN74182,SN74181,SN74181,SN74181,SN74181,C0,SN74182,2.8位片式运算器部件Am2901,2.8.1Am2901的内部组成,一、Am2901的内部组成,F,2.8.1Am2901的内部组成,二、Am2901的控制与操作1.选择运算功能(3种算术运算、5种逻辑运算),2.8.1Am2901的内部组成,2.选择数据来源,2.8.1Am2901的内部组成,3.选择结果处置,Am2901的操作使用,操作功能,控制信号B口A口I8I7I6I5I4I3I2I1I0Cn,R0R0+R1,R2R2R0,QR0,右移R0R0+R1,R0R0R1,YA口,YF,0000,011,0001,000,001,0,0010,0000,010,001,001,1,0000,101,0001,000,001,0,0000,000,000,100,0,/0000,0000,010,0001,100,001,0,YF,0000,011,0001,100,001,0,2.8.1Am2901的内部组成,三、外部的数据1.通过D接收外部线路送来的数据。2.应正确给出芯片的最低位的进位输入信号Cn，需要在Am2901芯片之外用另外的电路解决。3.关