矩阵及其运算习题课2.ppt

第二章矩阵,1.矩阵的定义,由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表:,称为m行n列的矩阵.简称mn矩阵.简记为:,这mn个数aij称为矩阵A的元素.,A=Amn=(aij)mn=(aij).,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,一、基本概念,2.特殊矩阵,(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n阶方阵.也可记作An,(或对角阵),其中1,2,n不全为零.记作ding(1,2,n),(3)如果En=diag(1,2,n)=diag(1,1,1),则称En为(n阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为E.,(4)元素全为零的矩阵称为零矩阵,mn阶零矩阵记作Omn或O.,(5)只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).,2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B.,1.两个矩阵的行,列数对应相等,称为同型矩阵.,3.同型矩阵和相等矩阵,4.矩阵的加法,设有两个同型的mn矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即,矩阵加法的运算规律,(1)交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).,矩阵A=(aij),称A=(aij)为矩阵A的负矩阵.,A+(A)=O,AB=A+(B).,5.数与矩阵相乘,数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.,设A,B为同型的mn矩阵,为数:(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.,数乘矩阵的运算规律,矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.,设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中,6.矩阵与矩阵相乘,(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.,矩阵乘法的运算规律,(1)结合律:(AB)C=A(BC);(2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;(4)AmnEn=EmAmn=A;,把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.,7.转置矩阵,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,转置矩阵的运算性质,8.方阵的运算,方阵的幂满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.,若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,定义为A1=A,Ak+1=AkA1,(k为正整数),由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.,方阵行列式的运算性质,(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,9.一些特殊的矩阵,设A为n阶方阵:(1)如果AT=A,称A为对称矩阵;(2)如果AT=A,称A为反对称矩阵;(3)如果A2=A,称A为幂等矩阵;(4)如果A2=E,称A为对合矩阵;(5)如果AAT=ATA=E,称A为正交矩阵;,(6)主对角线以下(上)的元素都为零的方阵称为上(下)三角矩阵;,(7)行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵.,性质:AA*=A*A=|A|E.,对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的(非奇异的,非退化的),并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.,10.逆矩阵,(2)矩阵A可逆的充要条件是|A|0.,(3)若A是可逆矩阵,则,(4)若AB=E(或BA=E),则B=A-1.,(1)若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的.,(5)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且,(7)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,(6)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,(8)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.,逆矩阵的计算方法:,(3)初等变换法(下一章介绍).,(2)伴随矩阵法:,(1)待定系数法;,矩阵的分块,主要目的在于简化运算及便于论证.分块矩阵的运算规则与矩阵的运算规则相类似,11.分块矩阵,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,分块矩阵,例1:设,计算A2,项式,并验证f(A)=O.,例3:设A,B都是n阶可逆矩阵,证明D=,为可逆矩阵,并求D1.,例4:设A,B,C,D都是n阶方阵,A是非奇异的,E是n阶单位阵,并且,(2)证明:,(1)求矩阵积XYZ;,二、典型例题,例1:设,解:由于,计算A2.,=A.,所以,即A2=A,所以A为幂等矩阵.,解:,由此得:,项式,并验证f(A)=O.,=2(a+d)+(adbc).,f(A)=A2(a+d)A+(adbc)E.,得证f(A)=O.,证:由于A,B都是n阶可逆矩阵,即|A|0,|B|0,则|D|=|A|B|0,所以D为可逆矩阵.,设,其中Xij均为n阶矩阵(i,j=1,2).,其中E为n阶单位矩阵.,由矩阵相等的定义有:,从而得,X11=A-1,X12=O,X21=B-1CA-1,X22=B-1.,故,同理可得:设A,B都是n阶可逆矩阵,(1)若,则,(2)若,则,例4:设A,B,C,D都是n阶方阵,A是非奇异的,E是n阶单位阵,并且,(2)证明:,(1)求矩阵积XYZ;,解(1):根据分块矩阵的乘法,得,解(2):根据(1)的结果,得,又由于,|XYZ|=|X|Y|Z|,而,|X|=|Z|=1,所以有,例5:设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n1.,证明(1):当A=O时,|A|的所有代数余子式均为0,从而A*=0,故|A*|=0.,当AO且|A|=0时,用反证法证明.,假设|A*|0,则有A*(A*)1=E,由此得,A=AE=AA*(A*)1=AA*(A*)1=|A|E(A*)1=O,这与AO矛盾,故当|A|=0时,|A*|=0.,证明(2):当|A|=0