路程最短问题的模型和题型浅论

路程最短问题的模型和题型浅论-将军饮马模型一六大模型1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。3.如图，点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使PAB 的周长最小4.如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的周长最小。5.如图，点 A 是MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小6. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小-二、常见题目Part1、三角形1如图，在等边ABC 中，AB = 6，ADBC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，丐 AE = 2，求 EM+EC 的最小值解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，AA连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BHAC 于点 H，EE则 EH = AH AE = 3 2 = 1，MHBH =BC2 - CH2 =62 - 32 = 33M在直角BHE 中，BE =BH2 + HE2BDCBDC=(33)2 + 12 = 272如图，在锐角ABC 中，AB = 4 2，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_解：作点 B 关于 AD 的对称点 B，过点 B作 BEAB 于点 E，交 AD 于点 F，则线段 BE 的长就是 BM的最小值在等腰 RtAEB中，根据勾股定理得到，BE = 4CBMF DA N E B3如图，ABC 中，AB=2，BAC=30，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB，过点 B作 BNAB，垂足为 N，交 AC 于点 M，则 BN = MB+MN = MB+MN BN 的长就是 MB+MN 的最小值CM则BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30。AN = 1在直角ABN 中，根据勾股定理A30N2BBBN = 3CMA30N2B-Part2、正方形1如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，丐 DM2，N 是 AC 上的一动点，DNMN 的最小值为_。即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小解：故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM，交 AC 于点 N。则 DNBN线段的长就是 DN的最小值在直角中，则故 DN的最小值是ADNMBC2如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使PDPE 的和最小，则这个最小值为（）A2 3B2 6C3D 6AD解：即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小E点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B，连接 BE 交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE，PBE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 23BC3在边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则PBQ 周长的最小值为_（结果不取近似值）.解：在 AC 上求一点 P，使 PB+PQ 的值最小AD点 B 关于 AC 的对称点是 D 点，连接 DQ，与 AC 的交点 P 就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQP故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值在直角CDQ 中，CQ = 1，CD = 2BQC根据勾股定理，得，DQ =54如图，四边形 ABCD 是正方形， AB = 10cm，E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；解：连接 AE，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值在直角ABE 中，求得 AE 的长为 55ADBEC-Part3、矩形1如图，若四边形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PD的最小值；解：作点 C 关于 BD 的对称点 C，过点 C，作 CBBC，交 BD 于点 P，则 CE 就是 PE+PC 的最小值20直角BCD 中，CH =5直角BCH 中，BH = 85BCC的面积为：BHCH = 160 CEBC = 2160则 CE = 16CADHPBECPart4、菱形1如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，ABC=45，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE的最小值；解：点 C 关于 BD 的对称点是点 A，过点 A 作 AEBC，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值在等腰EAB 中，求得 AE 的长为 52ABPDECPart5、直角梯形1已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上秱动，则当 PA+PD 取最小值时，APD 中边 AP 上的高为（）248ADA、17B、17C、17 D、3171717解：作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD，交 BC 于点 P则 AD = PA+PD = PA+PDAD 的长就是 PA+PD 的最小值SAPD = 4在直角ABP 中，AB = 4，BP = 1BPC根据勾股定理，得 AP =174817AP 上的高为：2=1717A-Part6、圆形1已知O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60，点 B 是AD的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值解：在直线 CD 上作一点 P，使 PA+PB 的值最小A作点 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AB，B交 CD 于点 P，则 AB 的长就是 PA+PB 的最小值连接 OA，OB，则AOB=90，CDOA = OB = 4OP根据勾股定理，AB = 4 2A2如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN30，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则PAPB 的最小值为( )A22B 2C1D2解：MN 上求一点 P，使 PA+PB 的值最小作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，则点 P 就是所要作的点AB 的长就是 PA+PB 的最小值连接 OA、OB，则OAB 是等腰直角三角形AB = 2ABMPNOAPart7、一次函数20一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0），B（0，4）（1）求该函数的解析式；（2）O 为坐标原点，设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点，求 PCPD 的最小值，并求取得最小值时 P 点坐标解：(1)由题意得：0 = 2x+b，4 = by解得 k = -2，b= 4， y = -2x+4B(2)作点 C 关于 y 轴的对称点 C，连接 CD，交 y 轴于点 P则 CD = CP+PD = PC+PDCD 就是 PC+PD 的最小值D连接 CD，则 CD = 2，CC = 2在直角CCD 中，根据勾股定理 CD = 22P求直线 CD 的解析式，由 C(-1，0)，D(1，2)xO，有 0 = -k+b，2 = k+bCCA解得 k = 1，b = 1， y = x+1当 x = 0 时，y =1，则 P(0，1)-Part8、二次函数1如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），连结 0A，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 周长最小？若存在求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)B(1， 3 )y323(2) y = 3 x2 +3x(3)点 O 关于对称轴的对称点是点 A，则连接 AB，BC交对称轴于点 C，则BOC 的周长最小x3233AOy = 3 x2 +3 x ，当 x=-1 时，y = 33C(-1， 3)2如图，在直角坐标系中，A，B，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线 l，D 为直线 l 上的一个动点，(1)求抛物线的解析式；y(2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标；(3)以点 A 为圆心，以 AD 为半径作圆 A；C解：（1）证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与圆 A 相切；D写出直线 BD 与圆 A 相切时，点 D 的另一个坐标。（2）连接 BC，交直线 l 于点 D，则 DA+DC = DB+DC = BC，BC 的长就是 AD+DC 的最小值BC：y = -x + 3AOBx则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D(1，2)，3抛物线 y = ax2+bx+c(a0)对称轴为 x = -1，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(-3，0)、C(0，-2)（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得PBC 的周长最小请求出点 P 的坐标（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）过点 D 作 DEPC 交 x 轴于点 E，连接 PD、PE设 CD的长为 m，PDE 的面积为 S求 S 与 m 之间的函数关系式试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由y b= 1242a(1)由题意得解得 a = ，b =，c = - 2x9a-3b+c = 033AOBc = -224PC抛物线的解析式为 y =x2+3x - 23-(2)点 B 关于对称轴的对称点是点 A，连接 AC 交对称轴于点 P，则PBC 的周长最小设直线 AC 的解析式为 y = kx +b，A(-3，0)，C(0，-2)，则y20 = -3k + b解得 k = - 3，b = -2-2 = b直线 AC 的解析式为 y = -2x 2EOx3ADB44P把 x = -1 代入得 y = -，P(-1，-)33C(3)S 存在最大值OEODOE2-mDEPC，=，即=