第十章-市场状态转移概率预测.ppt

市场状态转移概率预测（马尔科夫预测法）,在现实中，市场是竞争性的活动，竞争结局是优胜劣汰，那么市场状态也会不断转移，参与市场竞争的个体，无不关心市场状态的转移，希望了解、把握市场状态转移规律，预测出市场状态转移的各种可能性。本章利用Markov过程理论的一些基本方法，预测市场占有率、状态转移规律以及期望利润。,第一节、马尔科夫链基本概念马尔柯夫（A.AMarkov俄国数学家）。20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔柯夫链。,1、状态与状态变量状态：客观事物可能出现或存在的状况。如：商品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能故障等。同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在两种状态。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。,1,2,3,4,P33,P22,P44,P41,P42,P31,P32,用状态变量来表示状态：它表示随机运动系统，在时刻状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。如：由于产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。,所处的状态为,2、状态转移概率客观事物可能有共N种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N个转向（包括转向自身），即。由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率,写成数学表达式为：P(xt+1=j|xt=it,xt-1=it1,x1=i1)=P(xt+1=j|xt=it)定义：Pij=P(xt+1=j|xt=i)即在xt=i的条件下，使xt+1=j的条件概率，是从i状态一步转移到j状态的概率，因此它又称一步状态转移概率。由状态转移图，由于共有N个状态，所以有,3、状态转移矩阵（1）一步状态转移矩阵系统有N个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵P11P12P1N定义为P21P22P2N:PN1PN2PNN这是一个N阶方阵，满足概率矩阵性质1）Pij0,i,j=1,2,N非负性性质2）Pij=1行元素和为1,i=1,2,N,NN,P=,如：W1=1/4,1/4,1/2,0W2=1/3,0,2/3W3=1/4,1/4,1/4,1/2W4=1/3,1/3,-1/3,0,2/33）若A和B分别为概率矩阵时，则AB为概率矩阵。,概率向量,非概率向量,例：某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知2009年5月份有500户是甲厂的顾客；400户是乙厂的顾客；100户是丙厂的顾客。6月份，甲厂有400户原来的顾客，上月的顾客有50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300户原来的顾客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；丙厂有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂，10户转乙厂。计算其状态转移概率。,解：由题意得6月份顾客转移表1：,（2）稳定性假设若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。这个假设称为稳定性假设。蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。,（3）k步状态转移矩阵经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为P(xt+k=j|xt=i)=Pij(k)i,j=1,2,N定义：k步状态转移矩阵为：P11(k)P12(k)P1N(k)P=:PN1(k)PN2(k)PNN(k)当系统满足稳定性假设时P=P=PPP其中P为一步状态转移矩阵。即当系统满足稳定性假设时，k步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的k次方.,k,k,k,例：设系统状态为N=3，求从状态1转移到状态2的二步状态转移概率.解：作状态转移图解法一：由状态转移图：112:P11P12122:P12P22132:P13P32P12=P11P12+P12P22+P13P32=P1iPi2,1,3,2,P13,P32,P11,P12,P12,P22,解法二：k=2,N=3P11(2)P12(2)P13(2)P=P21(2)P22(2)P23(2)P31(2)P32(2)P33(2)P11P12P13P11P12P13=PP=P21P22P23P21P22P23P31P32P33P31P32P33得：P12(2)=P11P12+P12P22+P13P32=P1iPi2,(2),例:设味精的市场状态及其一步转移概率如下：求第一季度畅销，经过两个季度后，保持畅销的概率。解：经过两个季度，即进行了两次转移，故得可得为0.55,第二节状态转移概率的估算主观概率法（一般缺乏历史统计资料或资料不全情况下使用）统计估算法。例2：设味精市场的销售记录共有6年24个季度的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。,已连续统计六年共24个季度，确定畅销，滞销界限，即只允许出现两种状态，且具备无后效性。设状态1为畅销，状态2为滞销,作出状态转移图:图中:P11为当前畅销，连续畅销概率；P12为当前畅销，转滞销概率；P22为当前滞销，连续滞销概率；P21为当前滞销，转畅销概率。,1,2,P22,P11,P12,P21,共24个季度数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，现分别统计出:连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。第二十四个季度为畅销，但后续是什么状态不知，故计算时不能采用，只用于第二十三季度统计。有：P11=7/(7+7)=0.5;P12=7/(7+7)=0.5;P21=7/(7+2)=0.78;P22=2/(7+2)=0.22则P=0.50.50.0.22此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性各占一半若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风险22%,二步状态转移矩阵为：0.50.50.50.50.780.220.780.220.640.360.56160.4384P11(2)P12(2)P21(2)P22(2),=,=,P=P=,2,2,（2）初始状态概率向量记为过程的开始时刻，则称：为初始状态概率向量、已知马尔科夫链的转移矩阵以及初始状态概率向量P(0)，则任一时刻的状态概率分布也就确定了：对k1，记则由全概率公式有：,若记向量则上式可写为：由此可得,例：一台机床的运行状态机床运行存在正常和故障两种状态。由于出现故障带有随机性，故可将机床运行看作一个随时间变化的随机系统。机床以后的状态只与其以前的状态有关，而与过去的状态无关(有无后效性)。因此，机床的运行可看作马尔科夫链。如机床运行过程中出现故障，表示为从状态1转移到状态2；处于故障状态的机床经维修恢复到正常状态即从状态2转移到状态1。现以1个月为时间单位，经统计知：从某月到下月机床出现故障的概率为0.2，即p12=0.2。保持正常状态的概率为为p11=0.8。在这一时间，故障机床经维修返回正常状态的概率为0.9，即p21=0.9；不能修好的概率为p22=0.1。,由机床的一步转移概率得：状态转移概率矩阵：若已知本月机床的状态向量P(0)=(0.85，0.15)，要求预测机床两个月后的状态。求出两步转移概率矩阵,预测：两个月后的状态向量,第三节市场占有率预测,商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客，产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：设某一确定市场某商品有N个不同品牌（或N个商家）投入销售，第i个商家在第j期的市场占有率Si(j)=xi(j)/xi=1,2,N其中xi(j)为第i个商家在第j期的销售额（或拥有顾客数）x为同类产品在市场上总销售额（或顾客数）市场占有率所需数据可通过顾客抽样调查得到。,一般地,首先考虑初始条件,设当前状态（即j=0）为S(0)=S1(0)S2(0)SN(0)第i个商家Si(0)=xi(0)/xxi(0)=Si(0)x即当前第i个商家市场占有率与初始市场占有率及市场总量有关.同时假定满足无后效性及稳定性假设.由于销售商品的流通性质,有第i个商家第j期销售状况为,xi(k)=x1(0)P1i(k)+x2(0)P2i(k)+xN(0)PNi(k)=xS1(0)P1i(k)+xS2(0)P2i(k)+xSN(0)PNi(k)P1i(k)=xS1(0)S2(0)SN(0)P2i(k):PNi(k)有：Si(k)=xi(k)/xP1i(k)=S1(0)S2(0)SN(0)P2i(k):PNi(k),故可用矩阵式表达所有状态:S1(k),S2(k),SN(k)=S1(0),S2(0),SN(0)P即S(k)=S(0)P当满足稳定性假设时,有S(k)=S(0)P这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有率k步预测模型.,k,k,k,例:东南亚各国味精市场占有率预测,初期工作:a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3.b)市场调查,求得目前状况,即初始分布c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状态转移概率.1)初始向量:设上海味精状况为1;日本味精状况为2;香港味精状况为3;有S(0)=S1(0)S2(0)S3(0)=0.40.30.3,2)确定一步状态转移矩阵P11P12P130.40.30.3P=P21P22P23=0.60.30.1P31P32P330.60.10.33),3步状态转移矩阵(假定要预测3个月后)P11(3)P12(3)P13(3)0.4960.2520.252P3=P21(3)P22(3)P23(3)=P=0.5040.2520.244P31(3)P32(3)P33(3)0.5040.2440.252,3,4)预测三个月后市场0.4960.2520.252S(3)=S(0)P3=0.40.30.30.5040.2520.2440.5040.2440.252S1(3)=0.40.496+0.30.504+0.30.504=0.5008S2(3)=0.2496S3(3)=0.2496,长期市场占有率预测:在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。现在需要研究当k不断增大时，P(k)的变化趋势。如果P为概率矩阵，且存在m0，使Pm中诸元素皆非负非零。则称P为正规概率矩阵。均为正规概率矩阵。P1为正规概率矩阵是明显的（m=1）,P2是正规概率矩阵也也易于论证：是非正规概率矩阵。平稳分布如存在非零向量X=(x1，x2，xN)，使得：XP=X,其中：P为一概率矩阵则称X为P的固定概率向量。特别地，设X=(x1，x2，xN)为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵，若XP=X即：称X为该马尔可夫链的一个平稳分布若随机过程某时刻的状态概率向量P(k)为平稳分布，则称过程处于平衡状态。（XP=X）,一旦过程处于平衡状态，则经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。对于所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各市场主体丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。,利用这一性质，即可求得长期市场占有率因P是正规概率矩阵，求解如下方程组解得：X=0.5,0.25,0.25，即为市场长期占有率,第四节期望利润预测,是考虑:一个与经济有关随机系统在进行状态转移时,利润要发生相应变化,例如商品连续畅销到滞销,显然在这些过程变化时,利润变化的差距是很大的.所以有如下的定义:若马尔科夫链在发生状态转移时,伴随利润变化,称这个马尔科夫链为带利润的马尔科夫链.,设系统有N个状态状态i经过一步转移到状态j时(即当事件发生时,Pij=1)所获得的利润为riji,j=1,2,N于是有利润矩阵r11r12r1NR=r21r22r2n:rN1rN2rNN显然,rij0盈利;rij0亏损;rij=0平衡由于系统状态转移为随机的,得到的利润也应当是随机的,这个利润只能是期望利润.,11、即时期望利润(一步状态转移期望利润)考虑状态i状态转移i1i2iiiN一步转移概率Pi1Pi2PiiPiN利润变化ri1ri2riiriN所以:从i转到1的期望利润值P11r11从i转到2的期望利润值P12r12:从i转到i的期望利润值Piirii:从i转到N的期望利润值P1Nr1N,而从状态i开始经过一步转移后所得到的期望利润值为Pijrij=Pi1ri1+Pi2ri2PiNriN这个值称为即时期望利润,又是一步状态转移期望利润,是概率定义下的利润均值.记为Vi=Vi=Pijrij特别地Vi=0,即当k=0,未转移,没有利润变化.,1,0,2.k步转移期望利润递推公式k步转移期望利润可以分解为两步,即一步和k1步,一步转移期望利润为Vi=Pijrij现考虑k1步首先,从0时刻到1时刻发生了一步状态转移,假定状态已转移1状态(令Pij=1)后,从1状态开始k1步转移后达到期望利润为V1k-1.而i状态转移到1状态的发生概率为Pi1,因此i状态先转移到1状态后的k1步实际期望利润为Pi1V1k-1,k1,同理i状态先转到2状态后的k1步实际期望利润为Pi2V2即:各实际期望利润之和,构成了初始状态为i的k1步转移后的转移期望利润:PijVjk步转移期望利润Vi=Vi+PijVj=Pijrij+PijVj=Pij(rij+Vj)以上公式为k步转移期望利润递推公式此公式可改写为矩阵递推式:由Vi=Vi+PijVj,k1,k1,k,1,k1,k1,k1,k,k1,V1定义V=V2为j步转移期望利润列向量:VNV1V=V2为即时期望利润列向量:.VNP11P12P1N:为一步状态转移概率矩阵PN1PN2PNN有V=V+PV,j,j,j,j,P=,K,k1,例:设某商品销售状态分别为