数理逻辑练习题及答案-4

一阶逻辑基本概念1 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）凡有理数都能被2整除。（2）有的有理数能被2整除。其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。2 在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。（2）存在x，使得x+5=9。其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。3 在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不能表示成分数的有理数。（2）在北京卖菜的人不全是外地人。（3）乌鸦都是黑色的。（4）有的人天天锻炼身体。4 在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）火车都比轮船快。（2）有的火车比有的汽车快。（3）不存在比所有火车都快的汽车。（4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。5 给定解释I如下：(a)个体域DI为实数集合R。(b)DI中特定元素=0。(c)特定函数(x,y)=x-y，x,yDI。(d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：xy，x,yDI。说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）xy(G(x,y)F(x,y)（2）xy(F(f(x,y）,a)G(x,y)（3）xy(G(x,y)F(f(x,y),a)（4）xy(G(f(x,y),a)F(x,y)6 给定解释I如下：（a）个体域D=N（N为自然数）。（b）D中特定元素=2。（c）D上函数(x,y)=xy，(x,y)=xy。（d）D上谓词(x,y)：x=y。说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）xF(g(x,a),x)（2）xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)（3）xyz(F(f(x,y),z)（4）xF(f(x,x),g(x,x)7 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）x(F(x)y(G(y)H(x,y)（2）xy(F(x)G(y)H(x,y)答案1（1）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为0。 (b)中，x(G(x)F(x)，其中，G(x)：x为有理数，F(x)同(a)中，真值为0。（2）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为1。 (b)中，x(G(x)F(x)，其中，F(x)同(a)中，G(x)：x为有理数，真值为1。2（1）(a)中，x(x2-2=(x+)(x-)，真值为1。 (b)中，x(F(x)(x2-2=(x+)(x-)，其中，F(x)：x为实数，真值为1。（2）(a)中，x(x+5=9)，真值为1。 (b)中，x(F(x)(x+5=9)，其中，F(x)：x为实数，真值为1。3. 没指定个体域，因而使用全总个体域。(1) x(F(x)G(x)或x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x为有理数，G(x)：x能表示成分数。(2) x(F(x)G(x)或x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x在北京卖菜，G(x)：x是外地人。(3) x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x是乌鸦，G(x)：x是黑色的。(4) x(F(x)G(x)，其中，F(x)：x是人，G(x)：x天天锻炼身体。4. 因为没指明个体域，因而使用全总个体域。(1) xy(F(x)G(y)H(x,y)，其中，F(x)：x是火车，G(y)：y是轮船，H(x,y):x比y快。(2) xy(F(x)G(y)H(x,y)，其中，F(x): x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y):x比y快。(3) x(F(x)y(G(y)H(x,y) 或x(F(x)y(G(y)H(x,y)，其中，F(x): x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y快。(4) xy(F(x)G(y)H(x,y) 或xy(F(x)G(y)H(x,y) )，其中，F(x): x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y):x比y慢。5.(1) xy(xyxy)，真值为1。(2) xy(x-y=0)xy)，真值为0。(3) xy(xy)(x-y0)，真值为1。(4) xy(x-y0)(x=y)，真值为0。6.(1) x(x2=x)，真值为0。(2) xy(x+2=y)(y+2=x)，真值为0。(3) xyz(x+y=z),真值为1。(4) x(x+x=xx),真值为1。 7.(1) 取个体域为全总个体域。解释I1：F(x)：x为有理数，G(y)：y为整数，H(x,y)：xy在I1下：x(F(x)y(G(y)H(x,y)为真命题，所以该公式不是矛盾式。解