数值分析PPT教案.ppt

数值分析，1，简介，第1章插值，第2章数值积分和数值微分，第3章曲线拟合的最小双向法，第4章非线性方程根的逼近法，第5章线性生成方程的直接法，第6章求解线性方程的迭代法，第7章矩阵特征值和特征向量的计算，第8章常微分方程的数值法，计算方法，2，参考书，1。数值分析，翟瑞才，天津大学出版社；2.计算方法，由中山大学和武汉大学共同编制。数值计算原理，李庆阳、关智、白凤斌，清华大学出版社4。计算方法导论，徐绥伟，科学出版社，3，1。计算方法的任务和特点，介绍数学问题的实际问题，提供分析计算方法的程序设计，计算机计算结果，计算方法，4，2。基本数学问题：1。求解大型线性代数方程Ax=b；2.矩阵A的特征值和特征向量的计算；3.求解非线性方程(求根)；4.积分计算；5.求解常微分方程的初值问题；6.其他。通常很难找到确切的答案。例如：1。方程的阶数n非常大，例如，n=20，计算机的计算速度是每秒1亿次。如果方法不好，将需要30多万年。一个好的方法不需要一分钟。此外，还有计算结果的可靠性问题。当形式复杂时，很难找到根和积分。4.线性微分方程很容易求解，如非线性方程很难求解，如、希望：找到近似解，但方法简单、可行、有效(计算量小、误差小等)。)。使用计算机作为工具，很容易在计算机上实现。计算机操作：只能执行算术运算，例如加法、减法、乘法、除法和一些逻辑运算。计算方法：将解决数学问题转化为只执行基本运算如加法、减法、乘法、除法等的数值方法。按照一定的顺序。本文首先分析了数值分析的研究对象和特点，并给出了两个实例。例1在区间(1，2)中找出方程x2=的根。从理论上讲，显而易见的是找不到根的解析表达式，也就是说，找不到精确的解。例2克莱姆法则用于求解n元线性方程。显然，它在理论上是可行的，并且有精确的表达式。实际计算中会出现什么问题？实际问题，数学模型，基于计算机的计算结果，数值计算方法，用数学和计算机解决实际问题的过程，应用数学研究的任务，数值分析研究的对象，10，3，良好的计算复杂性，4。数值分析提供的算法有以下四个特点：1、面向计算机，2、理论分析可靠，4、通过数值实验验证，11、迭代法，2、直接法代替曲线，4、外推法，12、理解算法的建立和理论分析是每种算法的基本任务，积极适应“公式多”的特点；2.注意每章建立算法问题的提法，明确问题的基本提法，并逐步深化；3.了解每种算法的数学背景、数学原理和基本线索，并非常熟悉最基本的算法；4.认真进行数值计算的训练，学习每章的算法纯粹是为了实际计算，必须能够计算。如何学习？本课程的基本要求是掌握数值方法的基本原理和普通科学与工程计算的基本方法。你可以用你所学的方法在电脑上计算出正确的结果。课程结束后你所拥有的能力。1.对于具体的数值计算问题，你将选择合适的算法并通过计算机计算出正确的结果。2.从理论上分析了该算法的优缺点。3.解决更简单的数值计算问题的算法将根据原理构造。误差源的基本知识这里主要研究实际问题、用计算机解决实际问题的一般过程、模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差、应用数学解决的问题、数值分析解决的问题。设置精确值和近似值。绝对误差称为。的绝对误差极限。2.相对误差。调用的相对错误。在实践中，相对误差通常表示为。调用的相对误差限制。如果(1.1)表示有n个有效数字，如果分别为，则表示有有效数字。如果数字被四舍五入，误差不会超过单位的后半部分，也就是说，所以不等式可以由有效数字定义。有3个有效数字，分别是2、7、0。例如，1.2=32.93，=32.89，分别有3位有效数字3、2、8。因为中的数字9不是有效的数字，所以它不是有效的数字。有效数字和错误之间的关系。1.有效数字n越大，绝对误差(由1.1定义)越小。2.定理1.1如果近似数有n个有效数字，(1.2)否则，如果至少有n个有效数字。将两边除以(1.3)和(1.4)得到因自变量误差引起的函数值误差的近似值(误差传播)。(1.4)、(1.3)、(24)、(2)泰勒展开式类似于多元函数的泰勒展开式，(1.5)、(1.6)。在(1.6)式中，我们分别取相同的数，(1.7)，(1.8)，(1.9)，(2)，(25)，(1.3)近似值a *=120cm厘米长，近似值B宽如果| e (a *) | 0.2厘米已知，| e (b *) | 0.1厘米。尝试找出近似区域s*=a*b*的绝对误差极限和相对误差极限。式(1.5)中的解：面积s=a b，将被s=ab所代替，那么，相对误差极限为，26，1.3选择算法时应遵循的原则，1。尽可能简化计算步骤，减少乘法和除法运算的次数。例如，如果采用递归算法，则乘法数仅为n。防止大数“吃掉”十进制数。当|a|b|，尽可能避免ab。例如，假设计算机只能存储10位尾数的十进制数，3。尽量避免减去相似的数字。例如，当x很大时，它应该是、当x接近0时，它应该是，28、4。避免使用绝对值非常小的数字作为分母。当|b|a|时，应尽可能避免。5.选择数值稳定性好的算法来控制舍入误差的高速增长。例如，如果(误差)，计算误差将加倍，而、(n=1，2，)是稳定的。范数，范数，是长度概念的推广，是一个度量定义，是一个非负实数，它度量两个函数、向量、矩阵等之间的距离。规范有多种形式。采用相同的规范定义可以得到不同的规范。然而，它们都满足以下三个条件(公理化定义):1。(非阴性)2。(同质性)3。(三角不等式)实数|X|是向量X的范数. # # #不同范数之间的关系：是等价的。、30、基本要求：1。熟悉计算方法在解决实际问题中的地位，熟悉计算方法作为一种利用计算机作为工具寻找近似解的数值方法；2.熟悉绝对误差(极限)、相对误差(极限)和有效数的概念；3.熟悉公式(1.2)-(1.9)；4.熟悉选择算法应遵循的原则；当f(x)很复杂时，很难找到f(x)=0或f(x)为零的计算方法(找到一种近似而有效的简单方法)。在第二章中，求方程根的近似方法，2.1区间二分法理论：f(x)Ca，b，单调，f(a)f(b)0(1，1.5)，33，优点：条件简单。缺点：收敛速度慢。甚至很难找到多个根。如图所示，然后，(事后估计)，x，y，34，2.2迭代法，1。迭代法的建立和收敛性。收敛定理(定理2.2)，37，注意：L越小，收敛越快。判断程序关闭，(取固定的初始值)，计算何时，由公式(*) 3可知，该公式相对较小，此时停止，2。迭代加速度公式(略)，是由牛顿迭代法牛顿迭代法1建立的。迭代公式被建立，由泰勒在点展开，由泰勒在线性化(重要思想)，近似，求解，然后，将是，42，2。牛顿迭代法的几何意义是，切线，求交点，求解，然后，43，3。牛顿迭代法收敛定理(定理2.6)，在中，有根，在中，(1)，是连续的，并且不分别改变符号；如果，那么由牛顿迭代法(2.1)产生的序列收敛于根。(2)取初始值，设置，证书：将泰勒展开为，44，以表明数列有一个下界，因此单调递减。收敛。如果，则由(2.1)，45，例2.2，求解：如果，取，则由(2.1)，采用牛顿迭代法，46，基本要求熟悉区间=分部法；熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理；熟悉牛顿迭代法及其几何意义和收敛条件。作业：练习4: 1，2，3，4，6，47，计算方法，2。迭代法1的收敛阶(收敛速度)。定义：套。如果存在实数p0，则称之为P阶收敛，相应的迭代法称为P阶法。特别是，当p=1时，称为线性收敛，当p=2时，称为平方收敛。P越大越好(为什么？在这种情况下，50、3。牛顿法至少有二阶收敛性。(2)2.6的证明如下：(1)牛顿法改进为2.4弦截断法(略)，51，(2)第三章线性代数方程的求解，(52)，(1)高斯消去法，(2)线性代数：当方法不好时，工作量很大，工作量很小。消去法：3.1直接法，53，两列主元消去法计算结果是可靠的，54，直到原始方程被转换成，55，直到原始方程被转换成，56，和(3.3)是一个替换过程。(上三角方程组)(3.2)，(n)反代解公式，(n-1)原方程组简化为，以上是消去过程。(3.3)、(57)、(3)高斯总主成分消去法：优点计算结果更可靠；缺点-主提花机需要更多的时间来挑选，改变顺序和复杂的程序。(1)也可以使用无递归的列主消去法(称为高斯-乔丹消去法)，但它比有递归的列主消去法有更多的乘法和除法运算。(2)用列主成分消去法迭代进行的乘法和除法运算次数很少。(1)求行列式(2)求逆矩阵，(以上过程应选择主元素)，59、注，然后，(三角因式分解)，高斯消去，初等行变换，将原方程转化为上三角。五、矩阵三角分解法，60，定义三角(阶乘)分解为3.1，称为，其中是上三角。下三角形是一个单位下三角形矩阵(对角线元素都是1)，是一个上三角形矩阵，称为Doolittle分解。如果下三角形是一个单位上三角形，则称定理3.1n阶矩阵具有唯一的Doolittle分解(Crout)，并且前n-1阶主子方程不是0。(缩写)，并且三角形分解不是唯一的。因此，它被引入，并将3.2if定义为Crout分解。为什么我们要讨论三角分解？如果三角分解可以在消去法之前实现，那么它很容易通过迭代62和63来求解。基本要求：1。熟悉收敛阶的定义；2.熟悉牛顿法和改进法的收敛阶；3.熟悉用列主成分消去法求解线性方程组的计算过程；4.熟悉矩阵三角分解中杜利特尔分解和克罗特分解的定义；5.熟悉用三角分解法求解线性方程的思想；作业：作业集(一)第3章1，2，64，和，计算方法1。直接三角剖分(以杜利特尔分解为例)由矩阵m设置为、=、65、等(3.2)、(3.3)、77、基本要求1。矩阵的直接三角分解过程(不记得公式)；2.熟悉cholesky分解(无公式)的计算过程及其优缺点。作业：作业集(一)第三章3。78、1。简单迭代法1。迭代方法建立。考虑，(矩阵B不是唯一的)，写出3.2解线性方程的迭代法，计算方法，生成向量序列。如果收敛，请注意，79，然后取(3.4)两端的极限，如下：上面的公式显示：是解向量，所以当K足够大时，请注意：迭代矩阵B不是唯一的，这会影响收敛。解向量(1)称为简单迭代法，b称为迭代矩阵。2。趋同。定义3.3称为矩阵的谱半径。定理3.3简单迭代法，80，定理3.4，81，收敛解(I=1，2，n)，即=0，例3.2有方程(其中)Ax=b，即(3.5)，等效变形，(3.6)，82，Jacobi迭代法，所以有迭代公式，(k=0，1，2，)，(3.7)，83，矩阵形式如下：(3)将方程组(3.5)的系数矩阵A设为行严格对角占优，即：或列严格对角占优，即2。迭代方法提供了简单的迭代方法，即，(3.8)，85，这些方法被称为下面的迭代方法，(3.9)。它是对应于(3.8)的迭代法，它的迭代矩阵可以通过“替换法”得到。(1)迭代法(3.9)收敛到任意(2)如果迭代法(3.9)收敛到任意；(3)如果简单迭代法(3.8)的迭代矩阵满足或，对应的赛德尔迭代法(3.9)被称为赛德尔法对应的雅可比迭代法(3.7)的任意收敛性(证明)，迭代法的收敛性(3.9)，87，例3.3迭代法，(3.10)，收敛性如下：(1)使用一般赛德尔法(3.9) (2)如果系数矩阵A是对称和正定的，赛德尔法(3.1