杨辉三角形与高阶等差数列

三角形和高阶等差序列宁夏中卫中学小麦繁荣一、杨辉介绍杨辉是我国南宋末年杰出的数学家，对“叠手术”、“纵横图”、“数学教育”都做出了很大贡献。他是世界上第一位培养出丰富纵横图并讨论其构成方法的数学家。杨辉一生留下了很多着作。他编的数学书共有5种21本。他非常重视数学教育的大众化和发展，为初学者准备的时纲是中国数学教育史上的重要文学。杨辉在名为详解九章算法的书中还画了由二项式展开后的系数组成的三角化，称为“开放法的起源”，现在称为“杨辉三角形”。杨辉三角形是按数字排列的三角形数表，其典型形式如下：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1.法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细讨论了这个图形的性质，在西方，巴斯也被称为三角测量二、杨辉三角形的本质1、杨辉三角生成(1)，数字11的第n次幂的数字(未四舍五入)与杨辉三角形的数字完全相同。也就是说，杨辉三角形是按照11的幂电位不四舍五入的方式从小到大的顺序排列的图。下图：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116).(2)，(a b)n的扩展系数1 (n=0)1 1 (n=1)1 2 1 (n=2)1 3 3 1 (n=3)1 4 6 4 1 (n=4)1 5 10 5 1 (n=5)1 6 15 20 15 6 1 (n=6).2、杨辉三角特征(a b)r的展开模式的系数阵列为1 (r=0)1 1 (r=1)1 2 1 (r=2)1 3 3 1 (r=3)1 4 6 4 1 (r=4)1 5 10 5 1 (r=5)1 6 15 20 15 6 1 (r=6).1 c c.c.c 1 (r=m).1 c c.c c c 1 (r=n-1)1 c c.c.c 1 (r=n)1cc c.c.c 1 (r=n 1)1和二项式定理的关系：杨辉三角形的n行是二项式扩张的系数列。c。2对称：杨辉三角形的数字是左右对称的，对称轴在杨辉三角形的底边上“高”，也就是说。3结构特征：杨辉三角形等于“肩”的两个数(c=c c)，但斜边1除外。4c c c.c.c c=2三、杨辉三角形的高阶等价序列1，差异序列：序列相邻项的差异称为序列差异，由序列差异组成的新序列称为序列，例如序列a、a、a.a.的差异b、b、b.b.(b=a-a)称为一阶差分数；b、b、b.b.差异配置序列c、c、c.c.称为二次差分序列；.2，父项等差序列：如果一个序列的r阶差序列是常数序列(r阶差为零)，则此序列称为r阶等差序列。一阶等价序列是我们所说的等价序列。二次和二次以上的等差数列通常称为高阶等差数列。例如，1，3，4，5.n.是等差数列。1，3，6，10，二次等差数列。3、杨辉三角形的高阶等效序列在杨辉三角形中，我们先讨论n在前7行时的情况。如图所示，每个升程都被标记。(1)1 (2) n=11 1 (3) n=21 2 1 (4) n=31 3 3 1 (5) n=41 4 6 4 1 (6) n=51 5 10 5 1 n=61 6 15 20 15 6 1在斜线(1)中，将行7之前的数字加1 1 1=6在斜线(2)中，将行7之前的数字加1 2 3 4 5=15(主要)在斜线(3)中，将行7之前的数字加1 3 6 10=20 (2)在斜线(4)中，将行7之前的数字加1 4 10=15 (3阶)在斜线(5)中，将行7之前的数字加1 5=6 (4阶)将上面得到的数字与杨辉三角形7行上的数字进行比较，就知道完全相同。11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1从上面可以推测出，杨辉三角形的n行中的第I个数字是斜线i-1到前n-1的个数之和。也就是说，杨辉三角形有I斜线的前n个数字的和，I 1斜线的第n个数字的和。1 1 1 1 .1=c；1 2 3 .c=c1 3 6 10 .c=c1 4 10 20 .c=c.C c.c=c (r=1，2，3，)(*)公式(*)是杨辉三角形第一项为1的r阶等价序列求和公式。c是通用公式c为前n项总和的公式。四、一般高阶等价序列的一般公式和前n项的和将an设定为r阶等差序列，现在提供一般公式和前n项总计的公式。求1，r阶等价序列的一般公式a、a、a.a.使用r阶等差数列的当前差分方法查找项公式。每阶次数1阶b、b、b.b.(b=a-a)辅助c、c、c.c.(c=b-b)第三次m、m、m.m.(m=c-c).将d设置为每个阶差系列的第一项。D=b=a- a如果D=c=B- b，则d=c=B- b=(a-a)-(a- a)=a-2 a a如果D=m=C- c，则d=m=C- c=(b-b)-(b- b)=(a- a)-(a-a)-(a-a) (a- a)=a-3 a 3 a- a这可以推断为d=a-4 a 6 a-4 a.D=a-ca-.(-1) a=常数D=0而a=a b=a dA=a b=(a d) (b c)=a d d (c=d)=a 2d dA=a b=(a 2d d) (b c)=(a 2d d) (b c) (c m)=a 2d d d d=a 3 d 3 d d可以由此推断A=a 4 d 6 d 4 d d.A=a c d c d.CD d所以一般的公式是A=a c d c d.c d c d (d=0)2，父等价序列的前n项和公式a、a、a.a.是r阶等差数列。现在构造了r一阶等价序列0、a、a a、a a、a a.a，。阶差数列第一阶a、a、a.a.次要b、b、b.b.(b=a-a)第三次c、c、c.c.(c=b-b)第四次m、m、m.m.(m=c-c).将d设置为每个阶差系列的第一项。D=a，D=d，D=d.d=d，D=d=0A a a.a是此系列的前n 1项。A a a.a=0 CD c d.CD c d=ca CD光盘.CD光盘S=a a a.如果设置a，则a、a、a.a.前n项和公式为S=ca CD CD CD (r 1n)示例1，父级阶数1，7，25，61，121，211，查找中的通用公式以及前n项和公式解决方案：第一次6、18、36、60、90、第二次12，18，24，30，第三次6，6，6，所以这个数列是第三次等差数列A=1、d=6、d=12、d=6、d=0a=6 6(n-1)6(n-1)(n-2)(n-1)(n-2)(n-3)=n-n 1s=n 3n(n-1)2n(n-1)(n-2)n(n-1)(n-2)(n-3)/4检验a=125-5 1=121S=5 60 120 30=215例2，在下面数列的()中写适当的数(某个地方公务员招聘考试问题)11，23，41，65，()，131，表示此序列是主要和次要等差序列示例3，要定义l以在平面中使用n条直线的最大面积数(例如n=1)L=2，其他注意事项：可使用n条线置于平面上的最大面域l是什么？(第五届全国青少年信息学竞赛考试)提示L=2、L=4、L=7、L=11、L=16、的二次等差序列还有使用父对等序列的通用公式和前n项和公式的方法A=a c d c d.CD c d CD (rn-1)是n的r阶多项式。S=ca CD光盘.CD CD (r 1n)是n的r一阶多项式。这可以用待定系数法得到。范例4显示数列5、17、35、59、89、寻找的一般公式解决方案：第一次12、18、24、30.第二次6，6，6，所以这个数列是二次等差数列。设置a=an bn cN=1 a b c=5N=2 4a 2b c=17N=3 9a 3b c=35A=3 b=3 c=-1所以a=3n 3n-1四、VB中杨辉三角的输出下面是打印杨辉三角形的20行VB程序。PrivateSubForm_Click()N=InputBox(， ，5)ReDima(N 1，N