正方形经典例题与答案

典型例题一例01如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使，过E点作交AD于F. 求证：. 证明 连结CF. 在正方形ABCD中，AC平分. ， 又 ，. 在与中， . 说明：本题考查正方形的性质，易错点是忽视是等腰直角三角形. 解题关键是证是等腰直角三角形和连CF证. 典型例题二例02如图，已知：在中，CD是的平分线，交BC于E，交AC于F. 求证：四边形CEDF是正方形. 分析：要判定一个四边形是正方形有这样几种方法：按照定义证明，先证明它是菱形，再证它有一个角等于. 先证明它是矩形，再证它有一组邻边相等，那么本题中，因有一个角，且有两对平行线段，我们不妨采用第三种证明方法. 那么由角平分线的性质定理容易证出. 证明：（已知） 四边形CEDF是平行四边形. （已知）， 四边形CEDF是矩形（有一个角是的平行四边形是矩形）. （已知）， 又 CD是的平分线（已知）， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 说明 正方形是特殊的平行四边形，也是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形所以在判断一个图形是否为正方形时，由它的特殊性出发，通过先证它是平行四边形、矩形和菱形来完成典型例题三例03已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分交CD于F. 求证：. 证法1 延长DC至N，使，连结BN，则. . 四边形ABCD为正方形， . ， 证法2 如图，延长DA到G，使，连结BG，则. . 四边形ABCD是正方形， ， ， 即 说明 构造全等三角形是关键典型例题四例04如图，已知：E是正方形ABCD的边AD的中点，F是DC上的一点，且.求证：. 分析：因为，所以若设，则EF、BE都可以用含有的代数式表示. 由此，我们想到，为了证明，即为了证明，不妨使用勾股定理的逆定理. 为此，连结BF，则只需证明就可以了. 证明：连结BF， 四边形ABCD是正方形， ， 因为，若设，则，在中，根据勾股定理， 在中，根据勾股定理， 在中，根据勾股定理 有 是直角三角形，且，即. 说明 由正方形的特殊性，它不仅有平行四边形的性质，正方形的性质，还有菱形的性质，在给出一个四边形是正方形时，要能够灵活运用这些性质. 典型例题五例05已知：如图，正方形ABCD中，延长AD至E，使，再延长DE至F，使. 连结BF交CE，CD于P，Q. 求证：. 证明：在正方形ABCD中，. ，四边形BDEC是平行四边形. ，. . ， 说明：本题综合考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，易错点是习惯地用角的代换企图证明，这样做显然无法证出. 解题关键是求出. 典型例题六例06如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，若有. 求：的度数. 分析：在给出的条件中，这一条件比较分散. 我们不妨把AE和CF平移到同一直线上. 由正方形的性质可知，所以我们延长BC到G，使，则可以知道， . 又可以证得，可知，因此可求得的度数. 解答：延长BC到G，使，连结DG. 正方形ABCD， 又 ， . 又 典型例题七例07如图，已知：正方形ABCD的边长等于，点P在BC上，且与AB、CD分别交于E、F两点. 求：EF的长. 分析：为了求EF的长，需要把EF与已知条件联系起来，因此想到构造一个以EF为边的三角形，所以作，则易证，从而可求. 解答：过E点作交CD于G， , 四边形ABCD是正方形， ， 四边形BCGE是矩形. ， ，. 典型例题八例08（河北省，1997）命题：如图（1），已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作，垂足为G，AG交BD于点F，则. 证明 四边形ABCD是正方形，. 又， 问题 对上述命题，若点E在AC的延长线上，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成