变化率问题教学设计(广水市一中数学组王伟)

湖北省广水市第一高级中学数学组1.1.1变化率问题广水市一中 王 伟一.教学内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。教学重点：函数平均变化率的概念。二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照：平均变化率瞬时变化率导数的概念导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是导数及其应用的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。三.教学问题诊断分析吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。四.教学支持条件分析利用多媒体辅助教学，突出重点提高学习效率。在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程。五.教学过程设计1.问题情景从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。2.新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。n 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n 如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析: ，1 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为2 当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 设计意图：把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分析与归纳。问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。师生活动：教师播放多郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。思考计算：和的平均速度hto 在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性。定义：平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。思考：（1）,的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？设计意图：加深对概念内涵的理解。师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)，则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?（图略）设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。3典例分析例1计算函数在区间上的平均变化率 ； 例2 求函数的平均变化率。 设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤师生活动：教师适当点拨，学生回答，教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：（1）作差（2）作商4回顾总结（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。5布置作业课后习题六教学反思教材通过实际生活中的吹气球现象，提出问题，吹气球过程中，可以发现随着气球内空气容量的增加，气