哈工大考研2008年量子力学试题

2.2.3 2008年的真正问题1 .轨道角动量有三个成分和共同的固有状态吗？ 如果有的话，请写一个。如果没有的话，请说明一下为什么【解题】不，不容易，所以没有共同的特点图解考虑两个运算符具有公共本征状态的条件的两个运算符； 属于基础概念的评价。 易这一概念是量子力学考试中必然出现的概念，通常介于解答之间，熟练运用常用的易关系，记忆程度。本发明公开了哈密顿量的固有值是对应的固有值函数求出的固有值和固有值函数(c是常数)。【解题】由以上方程式可看出，其它本征函数的本征值为【分析】首先写汉密尔顿量的固有方程式，从两个不同的汉密尔顿量的关系可以得到相关结果本发明提供一种计算对易关系【解题】(1)(2)【分析】本问题应把握常见量子算子的对易关系。 例如，我们知道坐标和运动量，运动量和运动量，运动量和运动量，以及对易性的一些性质。 举例来说，以若干简单且众所周知的运算符来表示复杂运算符以简化结果。4 .利用不确定关系估计线性谐振器的基能。【解题】对直线谐振器利用有的【分析】得知一个力学量的差方差平均值等于该力学量码平方的平均值与平均值平方的差，利用两算子满足的易关系，从不等式中最小的线性谐振子能量就是其基能。本发明提供了一种计算机可读介质，包括：5.a和b作为两个埃尔米算子。 证明：在a或b的固有状态下，运算符c的平均值为零。【解题】设定由于所有这些都是埃尔米运算符，因此：好吧同样，正确的固有状态也有同样的结果因此，在a或b的固有状态中，运算符c的平均值为零。【解析】设定运算符a或b的固有状态，利用埃尔米运算符的性质，可以直接利用运算符c的平均式来证明结果。本发明提供一种线性独立解算方法，其特征在于，对于一维稳定雪恒定谘询方程式，与任意能量特征值对应的线性独立解最多只有2个(也就是说，与任意能量的简并度最大为2 )。【解题】用反证法证明：假设存在3个与能量特征值对应线性独立的特征波函数和，则如下所示挂第一式，挂第二式，有出场命令，上式如下所示积分后立即我在那里得到的上式表示的是和的线性组合，这明显与和独立的假设相矛盾。【分析】井孝功先生的教材有原题，主要考察定理证明过程，这部分应该重视，考试出现次数比较多。本发明提供一种粒子发现机制，其中，当一维无限深阱运动(t=0)时，根据如下求出该规范化的波动函数： (1)当t 0时，在粒子的状态波动函数(2)当t=0及t=t0的系统的平均能量(3)当t=0及t=t0时，在下一区域内发现粒子的概率.【解题】(1)其中(2)t=0及t=t0时系统的平均能量为(3)t=0时t=t0时【分析】首先，把问题中的波函数展开成哈密顿算子的几个固有函数(最好记住这些固有函数的形状，节约时间)， 乘以相关的时间因子得到任意时刻的粒子状态波函数的系统的平均能量，将直接能量值乘以其出现概率相加，得到在哪个地域发现粒子的概率直接积分波函数的平方，该问题的积分变量为坐标，注意积分的上下限。本发明提供了一种坐标表示法，用球形函数来表示已知3.l=1时的固有函数，并且当写入l=1时，所有和的固有函数均由球形函数来表示。【解题】在自表象下可以表示为对角矩阵相应的固有解即，即对于运算符，请使用升降运算符，即然后呢当时，运算符和对角元都为零仅在量子数不同情况下矩阵元素不为零，即因此，得到运算符、的矩阵的形式如下满意的固有方程式相应的长期方程把这个得到3个特征值分别为将它们分别置换为固有方程式，得到固有向量满意的固有方程式相应的长期方程把这个得到3个特征值分别为将它们分别置换为固有方程式，得到固有向量【分析】本问题可以用坐标表象矩阵求解，利用与球谐函数的关系写出其矩阵形式，注意三个固有函数的相关顺序(因顺序不同矩阵的形式发生变化，必须注意)，然后利用升降运算符对三个固有函数的作用求和矩阵形式，用长期方程式求出各自的固有值本发明公开了一种计算机可读存储介质，其中，某一力学量的算子(a )具有两个归一化的本征函数，且对应的本征值分别是和，另一力学量的算子(b )也具有两个归一化的本征函数和，并且对应的本征值分别是和在某种状态下测量力学量a的结果之后，测量力学量b，接着测量力学量a，第二次测量a得到的结果还有多少概率【解题】在某种状态下测定力学量a的结果为时，波函数为显而易见的是因此，第二次测定a的结果还没有到的概率【分析】这个问题主要是在考生每次测定时，看看其状态函数是如何变化的，如果知道以后的状态就能解决问题。 当测量某个力学量时，波动函数破坏为该力学量的固有状态，此时如果求出其他力学量的某个值的概率，则将其展开为求出已有的该力学量的固有状态的力学量的固有函数，可以判定该系数的平方是概率(另外，还记得乘以已有的该力学量的固有状态的概率)本发明提供一种Hamilton系统，其特征在于(1)如果使用微噪声学求h特征值的近似结果(直到二次校正)(2)求h的正确特征值(3)在什么条件下，(1)和(2)的结果一致【解题】(1)所以呢(2)解长期方程式可得最后寻求(3)此时(1)和(2)的结果一致【分析】该问题主要是比较精密特征值与微扰论求近似值的方法差异与所得结果是否一致，求精密特征值可以用长期方程直接得到的最基本的问题，微扰论将哈密顿量矩阵分解为两项之和，其中微扰矩阵远小于另一项的贡献。本发明提供一种粒子处于已决定的自旋状态。 已知在该自旋状态下取概率是取的概率，而且平均值不到零，求出的概率是多少【解题】