数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，也是学习高等数学的基础.在高考中占有重要地位.数列的加法是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有加法公式之外，大部分数列的加法需要一定的技术.以下就数列加法的基本方法和技术进行说明. 一.公式法：等差数列的上位n项和公式：等比数列的上位n项和公式，例1 :加法：例1已知，从求出的上位n项和，等比数列的加法式中得到，位置偏差相减：如果一个数列的各项由等差数列和等比数列的对应项的积构成，则进行位置偏差相减， 如果双方anbn型、等差、等比、2 .位错相位减法运算一个数列的各项由等差数列和等比数列的对应项的积构成，则该数列的前n项的和能够通过该方法求出.【位错相位减法运算】的前n项的和为Sn、an=n2n，则求出Sn=，例4数列的前n项的和，2020/5/22，9，已知数列， 2020/5/22 10，解：第一步，写该数列加法的展开方程式，第二步，将上式的左右乘以等比数列的公比，2020/5/22，11，第三步，进行二式的偏差减法，简化为：解：由问题可知的通项为等差数列2n-1的通项的通项之积(设计偏差)-利用得到的(偏差减法)等比数列的加法公式，求出： 2卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡、卡卡卡、卡卡、埃及653 (2)bn=、数列的前n项和Sn .2 .数列为a1 3a2 32a3 3n-1an=、an *.(公式1 ) 求数列的通项(2)求bn=，数列的前n项和Sn .解析： (1)a1 3a2 32a3 3n-1an=， (2)bn=n3n、Sn=13 232 333 n3n、3sn=132 233 334 (n-1)3n n3n 1式减法、-2Sn=3 32 33 3n-n3n 1、 (12点) (2010四川大学入学考试)等差数列an的前3项之和为6，前8项之和为-4.(1)求出数列an的通项式(bn=(4-an)qn-1(q0，nN* )，数列bn的前n项和Sn .3.(2012“江南十校”联合考试)等比数列an nN*，而且a3-a2=8，另外a1、a5等比中项求出16.(1)数列an的通项式，解： (1)设为数列an的公比q，根据题意得到a3=16、a3- a2=8，则a2=8、q=2.an=2n 1.2022 、四、组合法的总和既不是等差数列也不是等比数列，只要适当地分解这样的数列，就可以分成几个等差、等比或常见的数列，分别进行总和，并合并。cn=an bn、(an、bn为等差或等比数列)。 )反思与总结：要善于从通项式看本质：等差n等比2n一个，另外还要特别观察通项式。 如果没有给出通项式，通项式就会变得必要。 那样的话，就能解除规则。 组加法。 求出、n、1、1 .数列。2、3、的前n项和。，2，解：=，组加法，例5 .接下来数列的前n项和，解(1) :该数列的通则式为，解：将该各项分解并重新组合，n个， 例8作为数列n(n 1)(2n 1)的前n项和，解：将其各项分解并重新组合而成的2数列1、3 4、5 6、7、7 8 9 10，前n项和Sn.例6:1-22 32-42 (2n-1)2-(2n)2=？ 另外，局部重组成为常见的数列，求项和和：练习：已知Sn=-1 3-5 7 (-1)n(2n-1 )，1)s20，s212)sn，S20=-1 3 (-5) 7 (-37) 39，S21=-1 3 (-5) 7 (-9) 39 (-41 )，=20，=-21，5.相间的二项等差差比的综合是，在，an为等差数列，an=1 (n-1)=n，1.a1=1，并且an am=an m(n，mN* )的情况下，当an=_，解：n=m=1时，a2=a1=2，a1=1，a2=2， m=1时，从an am=an m得到an 1=an 1，即，如果an 1-an=1，n，2.b1=2且bmbn=bm n，则bn=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，解：如果n=m=1，则b2=b1b1=4，即b1=2，b2=4， 由于若m=1，则从bnbm=bn m开始bn 1=bnb1=2bn，因此bn第一个项为b1=2，公比q=2的等比数列，即bn=22n-1=2n，2n，练习，列项加法：列的项可以用这种方法将两个项之差，即列的各项分为两个项之差。 由于在加法运算时若干正负项被抵消，所以前面的n项之和为若干少数项之和，此加法运算被称作分裂通项法。 1 .具体地，对于其中每一项不为0的等差数列，通常使用等差项相消法，即，其中d=an 1-an.常见的裂项表达式包括：练习：总和，裂项法总和，提示：、7和数列的通项总和。 首先根据数列的构造和特征找出分析的数列通项及其特征，利用数列通项已阐明的规律求出数列的前n项之和是一种重要的方法，例如：求出满足已知的数列5，55，555，5555，前4项的条件的数列通项式和前n项和公式。 练习：求总计sn=1(12)(1222)(1222)2n-1 )、通项分析总计、通项、=2n-1、通项后处理通项，其和为：解：原因(求通项和特征)、(求通项和特征)、 (组)，(裂项)，2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222