高等数学第一章预备知识PPT课件

.,1,彭富连沈竹制作,基础高等数学电子教案,湖南师范大学数学与计算机科学学院,.,2,主编彭富连刘迪芬,湖南教育出版社,基础高等数学,.,3,前言,一、文科生学习高等数学的目的,高等数学是理科、工科、经济、管理、医学类学生的一门先行的基础理论课；随着世界进入信息时代，计算机日益普及,高等数学已经深入到社会的各个领域。作为加强大学生文化素质的一项措施,高等数学已被列入到文科的教学计划之内。因此,高等数学不只是理工科学生的,.,4,一方面使学生获得相应数学基础知识基本理论和基本计算方法，提高学生的数学素质；,必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。,文科生开设高等数学的目的:,另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。,对文科生来说，后者显得更为重要。,.,5,二、文科生开设高等数学的内容,本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个部分内容：,微积分是人类二千年来智力奋斗的结晶，有着广泛而深刻的应用，又是其他课程的基础，理所当然的是本书的主体部分。,一元函数微积分,线性代数,概率统计初步,.,6,第一章预备知识第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理与导数的应用第五章不定积分第六章定积分及其应用,.,7,重点:极限、导数、不定积分、应用,难点:极限、应用,三、重点、难点,1、牢固掌握基本概念、基本理论、基本计算方法;,四、要求,2、按质按量独立完成作业;不迟到,不缺课.,能熟练地用所学的方法去解决一些实际问题.,.,8,五、高等数学学习方法,四步学习法：,.,9,六、参考书,彭富连、刘迪芬主编：基础高等数学学习指导及习题解答湖南教育出版社出版,彭富连主编：高等数学学习辅导湖南师大出版社出版,彭富连主编：高等数学（上）湖南师大出版社出版,.,10,第一章,预备知识,.,11,1集合2函数3函数的性质4反函数与复合函数5初等函数,.,12,基本要求,1、了解集合的概念及区间和邻域的表示法;,.,13,1集合,1.1集合的概念及运算,1.集合具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,.,14,N-自然数集,A=B,平面上全体点组成的集合,记作,(直积),.,15,交换律,分配律,对偶律,(1)实数集的构成,1.2区间与邻域,(2)实数的点的表示数轴：,X,O,a,1,.,17,称为开区间,称为闭区间,(3)区间,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.设a,bR,且ab.,1.2区间与邻域,集合,集合,.,18,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,.,19,(4)邻域,定义,.,20,习题一5.用区间表示下列不等式的解集,并在数轴上表示出来:(4)0|2x+1|2解:6.开区间(1,3)是()(A)点3的邻域(B)点2的1邻域(C)1的邻域(D)以2为中心,1.5为半径的邻域,B,.,21,2函数,(1)常量与变量,动点,2.1函数的定义,定点,.,22,（2）函数的定义,落地时间为t=T,那么与之间的依赖关系由公式,(1),确定,其中为g重力加速度.,例1自由落体问题设物体下落的时间为t,下落的距离为s,假定开始下落的时刻为,在这个关系中,距离s随着时间t的变化而变化.,.,23,函数，记作,.,24,学中所介绍的实数集到实数集的映射.,称为函数的值域.,函数值全体组成的数集,.,25,一般说来,函数,的图形是一条平面曲线.,而与自变量和因变量用什么字母表示无关.,函数概念的两要素,注2函数的定义域一般分为两种:,若抽象地研究由表达式(公式)表示的函数,求函,数的定义域是指使表达式有意义的一切实数组成的,定义域-自变量的变化范围；,注1函数的表示法只与定义域和对应关系有关,.,26,函数的定义域要根据问题的实际意义确定.,集合,称为函数的自然定义域.而对于一些实际问题,为了使表达式有意义,常遇到的四种情况是:,(1)分式中的分母不能为零;,(2)偶次方根号下的表达式不能为负值;,(3)对数的真数必须大于零;,.,27,解,.,28,的定义域为,解当且仅当,.,29,或,.,30,2.2函数表示法,分段函数.,表格法、图示法、解析法(也叫公式法).,常用的表示方法有:,用解析法表示的函数可以由一个数学式子,给出,也可以在其定义域的不同部分用不同的,数学式子表示,用这种方式表示的函数称为,.,31,例5符号函数,值域为,.,32,例6取整函数y=x,x表示不超过的最大整数.,图形为阶梯曲线,.,33,例7设计一个体积为V的有盖圆柱形容器，求其表面积A和底半径R之间的函数关系。,解设圆柱形容器底的高为H，于是表面积为,代入上式得,定义域为,2.3建立函数关系,.,34,例8(单利问题)设一笔贷款的本金为p0元,年利率为r,贷款期限为x年,求本利和P.,解:一年的利息为p0r元,则x年的单利为p0rx元,本利和为P=,p0,+p0rx,=p0(1+rx)元,例9(复利问题)设一笔贷款的本金为p0元,年利率为r,贷款期限为x年,求本利和Px.,解:贷款满一年后的本利和为P1=p0(1+r)元,.,35,几个常用的经济函数:,设某种产品在某个时间范围内,如果把除价格以外的因素看作不变,则需求量可视为价格的函数,销售件产品的总收益函数为,.,36,例10某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出的可变成本为10元，产品的售价为每单位30元，求（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。,.,37,解,.,38,3函数的性质,3.1函数的有界性设函数f(x)的定义域为X，数集IX.如果存在正数K，使得对于一切xI，有|f(x)|K，则称函数f(x)在I上有界。,否则称为无界。,.,39,设y=f(x)的定义域为X，对任意x1，x2X，当x1x2时（1）有f(x1)f(x2)，则称f(x)在X上单调增加；,3.2函数的单调性,.,40,（2）有f(x1)f(x2)，则称f(x)在X上单调减少。,单调递增函数或单调递减函数统称为单调函数.单调递增区间与单调递减区间统称为单调区间,.,41,3.3函数的奇偶性:,有,.,42,奇函数的图形关于原点对称.,.,43,例：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x3cosx（2）f(x)=x(1x),解（1）函数f(x)的定义域为R,是关于原点的对称区间,f(x)=x3cosx为奇函数。,（2）f(x)的定义域是关于原点的对称区间，,f(x)为非奇非偶函数。,.,44,3.4函数的周期性,若存在一个正数T,通常说周期函数的周期是指其最小正周期.,周期为T的周期函数的图形在每个长度为T的区间上的形状相同.,.,45,例如正弦函数y=sinx的基本周期为2.,.,46,4反函数与复合函数,4.1反函数,习惯上用字母x表示自变量,用字母y表示因变量,如果,将y与x对应,称这个定义在Y上的对应,.,47,的定义域.,.,48,对称.,反函数存在定理：单调函数一定存在反函数,且单调递增(递减)函数的反函数也是单调递增(递减)的.,直接函数的图形与其反函数的图形关于直线,.,49,求反函数的一般步骤为:,再将x与y对换,即得所求函数的反函数为,例如,.,50,变量.,称u为中间,4.2复合函数,求复合函数定义域的步骤是“从外到内”(即由外层到内层考察相应函数在满足前一层次条件下的定义域,直到最内层),求出使算式有意义的一切实数x.,.,51,复合函数形象表示法:,的定义域为,.,52,的定义域.,。故,.,53,于是由原式得,故,.,54,5初等函数,5.1基本初等函数(一)常量函数y=c（c为已知常数）定义域为R，值域=c，图象为一条平行X轴的直线。,.,55,(二)幂函数,y=x（是一个非零常数）（1）当为正整数时例：看=1、2、3时,.,56,（2）当为负整数时例：看=1、2时,(二)幂函数y=x（是一个非零常数）,.,57,y=ax（a0且a1）定义域为R，值域R+,(三)指数函数,.,58,以10为底的常用对数：y=lgx.以e为底的自然对数：y=lnx.,.,59,(五)三角函数,倒数关系：tanxcotx=1,sinxcscx=1,cosxsecx=1.平方关系：sin2x+cos2x=1,tan2x+1=sec2x,1+cot2x=csc2x.,一些基本关系式：,.,60,.,61,（2）正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,定义域正切为xk/2kZ值域为R单调性：不定有界性：无界奇偶性：奇函数周期性：是周期为（3）正割函数y=secx=1/cosx余割函数y=cscx=1/sinx,.,62,(六)反三角函数,y=arcsinx是正弦函数y=sinx在上的反函数，叫做反正弦函数。其定义域是-1,1，值域是，并在定义域上单调递增.,由于三角函数是周期函数，对于值域内的每一个y值，都有无穷多个x值与之对应，因此必须限制其在单调区间内才能建立反三角函数。,反余弦函数,.,63,解,提示:讨论一个复合函数的分解问题,即讨论它是由哪些基本初等函数或简单函数(指由常数和基本初等函数经四则运算所得到的函数)复合而成,分解步骤为由外逐层依次向内分解.,.,64,练习：指出下列函数由哪些简单函数复合而成：,解：,.,65,由基本