数值分析第8章——矩阵特征值问题计算

.第1、8章的矩阵特征量问题计算对n次矩阵a求数和非零向量x，将满足Ax=x的值称为矩阵a的特征量，将非零向量x称为与矩阵a的特征量对应的特征向量。2、定义1设置矩阵a、BRnn，若有可逆排列p，则使a和b类似。 如果定理1矩阵a、BRnn类似，(1)A与b的特征量完全相同，(2)如果x为b的特征向量，则Px为a的特征向量。 如果8.1初步知识、3、定理2:arn具有完整的特征向量系数，则存在n个线性关系，在此I是a的特征量，p的各列是与I对应的特征向量。 另一组特征向量构成Rn的基础，其中a为对角矩阵，即存在无损矩阵p，4，定理3:arn，1，n为a的特征值，则(2)A的矩阵式的值为整个特征值的乘积，即，(1)A的笔迹的数目为特征值的和，即，5，定理4，6，6。 定理5如果以arn为对称矩阵且其特征值为12n，则(1)对于任意的arn、x0、(2)、(3)、7、定理6(Gerschgorin圆盘定理)设为arn，则表示以aii为中心具有半径的复平面上的n个圆盘。 (2)由行列a的m个圆盘构成的和集合s (连通)及其馀，(1)A的各个特征量必定属于以下的任意一个圆盘，如果nm个圆盘没有连接，则s内正好包含m个a的特征量。 若取.8、9、10、11、12、13、定理7、14、15、应方法、一个基本思想、非零的向量v0，则满足n次矩阵a的特征量且n个不依赖于线性的特征向量x1、x2、xn (即， 8.2方法和反方法，16，17，当根据假定条件k为足够大时，且因此，19， 另外，对于任意的非零的初始向量，以下的式成立，定理、20、重复式(1)将矩阵a的幂Ak与非零的向量v0实质上相乘来构筑向量序列xk，为了计算主特征量及其对应的主特征向量，将该方法称为幂方法。 对于，21，任意非零的初始向量，定理，有由以下方法构成的向量序列，22，2 .求法的实用计算公式，23，v0=(0，0，1 ) t，到，24，k=8为止的计算结果参照下表，所以，25，2 为了通过原点偏移方法计算a的主特征量1，对于矩阵a的特征值，任意实数p如此计算a的主特征量1，当采用方程1-p作为矩阵A-pE的主特征量并且应用方程1-PE获得主特征量1-p时，收敛速度加快。 通过这样求出A-pE的主特征量和特征向量，得到a的主特征量和特征向量的方法称为原点偏移法。26、并且显然，当2-p=-(n-p )，即P=(2 n)2时，在上式想要取最小值来计算n的情况下，从同样的讨论可知应该选择p=(1 n-1)2。 另外，如果对于任何实数p，矩阵A-pE的主特征值为1-p或n-p并且要求1，则选择p，27，或者实例2使用原点平移加速技术获得实例1中的矩阵a的主特征值及其相应的特征向量。 若求解p=-2.5并进行平移变换B=A-pE，则对b应用幂法，若取x0=(0，0，1 ) t，则如下表所示，为0.5，1，0.7500，13.5000，6.7500，13.5000，10.1250，5，0.5，1，0.7500，13.5007 13.5007 10.1256，4，0.5，1，0.7507，13.5179，6.76，13.5179，10.1406，3，0.5，1，0.7545，14，7，14，10.5625，2，0.5，1 另外，由于获得b的主特征量113.5000的特征向量v1 (0.5，1.0，0.7500 ) t，所以a的主特征量为1=1p11.0000，特征向量为v1=(0.5，1，0.7500 ) t。 将、29、30、31、a设为n次实对称矩阵，称为向量x的瑞利商，将(x，x)=xTx设为内积。 对于实对称矩阵a，如果其特征值得到满足，则2，瑞利商加速，由应用法式生成的xk瑞利商得到满足，因此可以明确R(xk )比mk早收敛于1。32、幂法的瑞利商加速迭代式是，a为n次实对称矩阵。对于给定的误差限制，在|MK-MK-1|的情况下，33、三、反向方法和反向方法为每个非奇异矩阵a的模型获得最小特征量和对应特征向量。 与原点偏移法的逆幂法相结合，可以求出与矩阵a中的任意一个预先已知的特征量对应的特征向量。 此外，如果矩阵a不是奇异的并且满足了特征量I (I=1，2，n )，那么如果对应的特征向量x1，x2，xn不是线性的，则A-1的特征量为1/i，并且对应的特征向量为xi(i=1， 如果为2，n )不变，则满足A-1的特征量，因此能够对A-1应用方程式而获得其主特征量1/n和特征向量xnuk，并且将获得与a的各模型最小特征量n1/对应的特征向量xnuk的方法称为“反向”， 35可以通过求解线性方程式Avk=uk-1来获得yk，以避免确定A-1，并且使用LU分解(即，分解a的A=LU )，此时反向方法的重复公式为2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 因此，从引入对角矩阵且确保的所有对角线元素为正、50%所获得的QR分解方程式可从先前QR分解方程式的唯一性获得，且因为所述QR分解方程式为上三角矩阵且为对角矩阵1或-1，所以52、52、 53例利用1QR算法求矩阵的特征量. a的特征量分解- 1，4，12 I .54，解密用施密特正交化过程，按照.55，相反的顺序乘以求得，代替a重复上述过程11次，计算了.56，可以看出矩阵a的一部分另一个特征量是-1， 上Hessenberg化，58，59，60，61，62，63，64，使用正交变换对称矩阵作为对称三角矩阵，65，具有原点位移的QR算法，66，67， 使用单步QR方法来计算上下文Hessenberg特征量，其中包括：、68、69、70、71、72、73、74、75、76、77、78、79、80、81、82、83， 假定.84、85、86、87、隐含QR算法、88、89、90、91、92、93、定理6、a为n阶实对称矩阵，则必须存在正交矩阵，其中p为a的n个特征值。 此外，证明a的相互不同的特征量与从性质1和性质3已知的特征量对应，94使它们标准正交，设特征向量组、特征向量全部为n个，并且在其中，a的n个特征量。 另外，特征量的特征向量这样正交，向量是正交的，将它们作为列向量来构成正交矩阵p，从性质2也得知，由于a的所属不同，因此该n个单位特征从定理6可知，实际对称矩阵的对角化问题实质上求出正交矩阵p 用于计算p的程序如下： (1)、(2)，一次线性方程，求标准正交的特征向量，实际对称矩阵a的全部特征量，对于不同的特征量，在此向量组中包括的向量是.96，(3)、(4)，p是正交矩阵，且是对角矩阵定义获取、97、实例13、解、特征量获取、98、99、7.2对称QR方法、对称矩阵的三对称化、100、原点位移QR重复、101、102、隐式QR重复、103、104、雅可比方法， 雅可比方法(一种用于计算实际对称矩阵a的所有特征量和与其相对应的特征向量的变换方法)的基本思想是，通过由一系列平面旋转矩阵构成的正交变换将对称矩阵依次变换为对角矩阵，以获得a的特征量和与其相对应的特征向量。 定理(1)若满足n次矩阵a，则将a称为正交矩阵，若将7.3雅可比法、105、(2)a设为n次实对称矩阵，则a特征量全部为实数，而且有相互正交的n个特征向量令a为n阶实对称矩阵，则需要正交矩阵p。 如从106，6 )可以看出，如果可以为任何下一个真实对称矩阵a获得一个正交矩阵p，则可以获得a的所有特征量及与其对应的特征向量。 这就是雅可比法的理论基础。 其中的对角线元素是a的n个特征量，正交矩阵p的第I列是与a的特征量对应的特征向量。 详细介绍雅比方法。首先记为导入中的平面旋转变换.107. 其中，108，X=，Y=，被称为平面内的平面旋转矩阵。 容易获得：其中X=被称为中心平面内的一个旋转变换。 除了(2)主对角线要素中的第I个和第j个要素以外，其他要素全部为1的非对角要素中，第I行第j列要素除了第j行第I列要素以外，其他要素全部为零， (3)仅改变a第I行第j行元素，AP仅改变a的第I列第j列元素，因此仅改变a的第I行、第j行、第I列、第j列元素，作为a=n次的实对称矩阵，作为非对角元素. 当通过直接计算满足关系表达式时，矩阵元素的平方和在正交相似变换中保持不变，因此如果矩阵a的对角线元素的平方和由D(A )表示，并且a的非对角线元素的平方和由S(A )表示，则可以从表达式(11 )获得112， 另外，非对角元素平方和a的非对角元素平方和并且擦除了预先选定的非对角元素指示：对a进行正交相似变换使对角元素的平方和比a的对角元素的平方和增加并减少。 由此，通过顺序应用这种变换，矩阵a的非对角元素的平方和可以被归零，而矩阵a被顺序化为对角矩阵，其中，并不针对矩阵a的每对非对角零元素执行这种变换。 在通过变换消去的情况下，只有第I行、第j行、第I列、第j列的要素变化，如果是零，则变换后常常不变为零.114、雅可比法对矩阵a逐渐进行正交相似变换，将a的全部特征变换为直到消去非对角线上的零以外的要素的a的非对角要素接近于零为止将要求使顺序正交变换矩阵相乘的特征向量jacobi计算过程总结到：中，所述第一步骤涉及从矩阵a的非对角元素中选择一个非零元素，通常采取绝对值为最大的非对角元素.115，以及第二步骤通过计算等式来获得平面电路从方程式(9)计算一个第三步骤，其中该第四步骤代替方程式(9)重复获得并继续第一、第二和第三步骤，其中第五步骤的对角元素为a的所有特征的近似值，并且第j列为特征量(其对角线上的第j个点) 例1使用雅可比方法计算矩阵的特征向量和特征向量，由于解首先为i=1，j=2，因此可得到117，i=1，j=3，使得118，继续直到非对角线元素变为零，并且在进行了9次变换之后得到.119.继续进行9次变换，直至非对角线元素变为零，并且获得的下一个对角线元素是a的特征量，即，由于用jacobi方法获得的结果较高，特别是所获得的特征向量具有良好的正交性，所以jacobi方法可以获得实际对称矩阵的特征量和与其相对应的特征向量但是，之前介绍的