数学第二轮专题复习第二部分 专题十一探索性问题的解法

.,专题十一探索性问题的解法,数学第二轮专题复习第二部分,.,应试策略,考题剖析,试题特点,03,05,07,探索性问题的解法,.,探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西.问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手.近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；,试题特点,返回目录,探索性问题的解法,.,(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化.2007年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新.,试题特点,返回目录,探索性问题的解法,.,应试策略,返回目录,.,问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高.探索性问题的常见解法有：(1)从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明；(2)假设结论存在，若推证无矛盾，则结论确实存在，若推出矛盾，则结论不存在；(3)使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件.,应试策略,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,返回目录,.,.（2007上海市新中第一考试）（1）证明：当a1时，不等式a3+a2+成立;（2）要使上述不等式a3+a2+成立，能否将条件“a1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由;（3）请你根据（1）、（2）的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明.,考题剖析,返回目录,探索性问题的解法,解析（1）证明：a3+a2=(a1)(a51),a1，(a1)(a51)0，原不等式成立（2）a1与a51同号对任何a0且a1恒成立，上述不等式的条件可放宽为a0且a1,.,考题剖析,（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a0且a1，mn0，则有am+an+证：左式右式=aman+=an(amn1)(amn1)=(amn1)(am+n1)若a1，则由mn0amn1,am+n1不等式成立；若0a1，则由mn00amn1,0am+n1不等式成立,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,点评这是一道类比研究探索结论的问题.阅读理解原有结论、观察规律，然后将命题增加元素、增添次数等方式进行拓展，这是从特殊到一般的研究问题的方式，也是探索型学习的一种常见方式.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,2.（2007上海市十一所实验示范校联考）我们把数列akn叫做数列an的k方数列（其中an0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和.（1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小；（2）若an的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求an的k方数列通项公式；（3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列an的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列an的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,解析（1）S（1，2）=a1+a2,S(3，2)=,S(2，2)=S（1，2）S（3，2）S（2，2）2=(a1+a2)()()2=a1a2(a1a2)2an0,S(1,2)S(3,2)S(2,2)2,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,（2）设anan1=d,则：d(an+an1)=pd(an+1+an)=p得2d2=0，d=p=0an=an1=0,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,（3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n）证明：S(1,n)2=S(3,n)S(1,n1)2=S(3,n1)(n2,nN*)相减得：anS(1,n)+S(1,n1)=S(1,n)+S(1,n1)=，S(1,n1)+S(1,n2)=相减得：an+an1=,an0，anan1=1,a1=1an=n,返回目录,探索性问题的解法,点评本题主要考查等差数列、数列求和等数列基本知识，是一道结论型的探索问题.,.,考题剖析,3.（2007湖南省师大附中三月模拟）已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn.（）若a4+a5=0,试验证:S7=S1,S6=S2,S5=S3成立，并将其整合为一个等式；（）一般地，若存在正整数k，使ak+ak+1=0，我们可将（）中的结论作相应推广，试写出推广后的结论，并推断它是否正确.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,解析（）an为等差数列,且a4+a5=0.S7=S1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=S1+3(a4+a5)=S1S6=S2+a3+a4+a5+a6=S2+2(a4+a5)=S2S5=S3+a4+a5=S3;又S4=S4.对任意nN*,n8,等式S8n=Sn恒成立.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,（）推广：设等差数列an的前n项和为Sn，若存在正整数k，使ak+ak+1=0,则对任意nN*,且n2k,等式S2kn=Sn恒成立.设an的公差为d,ak+ak+1=0,2a1+(2k1)d=0.S2kn=a1+(2kn)=(d+)(2kn)=(2kn)=(2kdnd)=(d2a1nd)=na1+d=Sn.故推广后的结论正确.,返回目录,探索性问题的解法,点评这是一个规律探索性问题.前面相当是一个特例，然后猜想、证明一般结论.,.,考题剖析,4.（2007广东江门一中）函数f(x)=x3+ax2+x+2(xR)（）若f(x)在x(，+)上是增函数,求实数a的取值范围.（）a=0时，曲线f(x)=x3+x+2的切线斜率的取值范围记为集合A，曲线f(x)=x3+x+2上不同两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)连线斜率取值范围记为集合B，你认为集合A、B之间有怎样的关系（真子集、相等），并证明你的结论.（）a=3时，f(x)=x3+3x2+x+2的导函数f(x)是二次函数，f(x)的图象关于轴对称.你认为三次函数f(x)=x3+3x2+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,解析（）f(x)=x3+ax2+x+2得f(x)=3x2+2ax+1若=4a2120,即a时,对于xR,有f(x)0,f(x)在R上单调递增若=4a212=0,即a=时,对于xR,有f(x)0,当且仅当f()=0故f(x)在R上单调递增若0，显然不合综合所述，f(x)在R上是增函数,a取值范围为a,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,（）BA证明：f(x)=x3+x+2有f(x)=3x2+11故A=1,+).设PQ斜率k，则k=x1x2故若x2=0有x1+=x10若x1+=0有x1=0得x20(x1+)2+0,得k1,B=(1,+)故BA,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,（）f(x)=x3+3x2+x+2的图象具备中心对称证法1：由f(x)=3x2+6x+1对称轴x=1现证f(x)图象关于点C(1,3)中心对称设M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,且M(x,y)关于C(1,3)对称的点为N(x0,y0),则得f(x0)=(2x)3+3(2x)2+(2x)+2=(8+12x+6x2+x3)+3(4+4x+x2)x=(x3+3x2+x+2)+6=y+6=y0,即y0=f(x0)故M关于点C(1,3)对称的点N(x0,y0)也在函数y=f(x)图象函数y=f(x)图象关于点C(1,3)对称,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,证法2：设y=f(x)图象的对称中心(m,n)则把y=f(x)图象按向量b=(m,n)平移,得到y=g(x)图象关于原点对称,即y=g(x)是奇函数g(x)=f(x+m)n=(x+m)3+3(x+m)2+(x+m)+2n=(x3+3x2m+3xm2+m3)+3(x2+2mx+m2)+x+m+2n=x3+(3m+3)x2+(3m2+6m+1)x+m3+3m2+m+2ng(x)是奇函数的充要条件是得y=f(x)的图象关于点(1,3)中心对称,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,点评本题主要是考查导数的运用、集合的关系、函数的对称性等问题，第一问实则是探索问题成立的充分条件，第二问是结论探索、第三问是是否存在性问题.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,5.（2007山东省泰安市第一次考试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且（）判断EF与平面PBC的关系，并证明；（）当=1时，证明DF平面PAC；（）是否存在实数，使异面直线EF与CD所成角为60？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,解析（）EF平面PBC.证明如下：作FGBC交CD于G，连结EG，则PCEG又FGBC，BCPC=C，FGGE=G.平面PBC平面EFG.又EF平面EFGEF平面PBC,返回目录,探索性问题的解法,.,（）=1，则F为AB的中点.又AB=AD,AF=AB在RtFAD与RtACD中tanAFD=tanCAD=AFD=CADACDF又PA平面ABCD，DF平面ABCDPADF.DF平面PAC,考题剖析,返回目录,探索性问题的解法,.,考题剖析,（）建立如图所示空间直角坐标系，设PA=AD=1，则A（0，0，0），B（，0，0），D（0，1，0），C（，1，0），P（0，0，1）.又(0)F()设E(0,y0,z0)则=(0,y0,z01),=(0,1y0,z0)又(0)即=(0,y0,z01)=(0,1y0,z0)即E(0,)=(),=(,0,0),返回目录,探索性问题的解法,.,假设存在实数，使异面直线EF与CD所成的角为60，则cos60=2=5=存在实数=使异面直线EF与CD所成的角为60.,点评本题主要考查立体几何的空间想象能力、推理论证能力和探索问题解决问题的能力.第一问即改变常见提前方式即只要证明结论成立，而改为一种探索结论的提问方式要求先判断再证明，增大了难度.第三问是是否存在型探索问题，一般是假设存在当成条件进行论证，存在要求说明理由，不存在或者推出矛盾或者只要能举出个反例即可.,考题剖析,探索性问题的解法,返回目录,.,6.（2007湖北地区适应考试2）三角形ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列.现给出三个结论：（1）0B;（2）acos2+ccos2=;（3）1.请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.,探索性问题的解法,考题剖析,返回目录,.,解析可以组建命题一：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0B（2）acos2+ccos2=；命题二：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0B（2）1命题三：ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）acos2+ccos2=（2）1命题四：ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0B（2）1,探索性问题的解法,考题剖析,返回目录,.,下面给出命题一、二、三的证明：（1）a、b、c